関数 $y = x^2 - 3x + 4$ のグラフに、原点 $(0, 0)$ から引いた接線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 3x + 4$ のグラフに、原点 $(0, 0)$ から引いた接線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、接点の座標を $(t, t^2 - 3t + 4)$ とおく。

次に、接線の方程式を求める。$y = x^2 - 3x + 4$ を微分すると、

$y' = 2x - 3$

接点 $(t, t^2 - 3t + 4)$ における接線の傾きは $2t - 3$ となる。

したがって、接線の方程式は

$y - (t^2 - 3t + 4) = (2t - 3)(x - t)$

この接線が原点 $(0, 0)$ を通るから、

$0 - (t^2 - 3t + 4) = (2t - 3)(0 - t)$

$-t^2 + 3t - 4 = -2t^2 + 3t$

$t^2 - 4 = 0$

$(t - 2)(t + 2) = 0$

$t = 2, -2$

$t = 2$ のとき、接点の座標は $(2, 2^2 - 3 \cdot 2 + 4) = (2, 2)$、傾きは $2 \cdot 2 - 3 = 1$。よって接線の方程式は $y = x$。

$t = -2$ のとき、接点の座標は $(-2, (-2)^2 - 3 \cdot (-2) + 4) = (-2, 14)$、傾きは $2 \cdot (-2) - 3 = -7$。よって接線の方程式は $y - 14 = -7(x + 2)$、つまり $y = -7x$。

3. 最終的な答え

$y = x$

$y = -7x$