与えられた関数について、定義域を考慮しつつ導関数を計算し、その符号を調べることで関数の増減を調べます。具体的には、 (1) $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ (2) $y = 2x^3 - 3x^2 + 6x - 5$ (3) $y = -e^x - x$ (4) $y = 3x - 2\sin x$ の関数の増減を調べます。

はい、承知いたしました。問題文に示された４つの関数について、それぞれ増減を調べます。

1. 問題の内容

与えられた関数について、定義域を考慮しつつ導関数を計算し、その符号を調べることで関数の増減を調べます。具体的には、

(1) $y = \log_{\frac{1}{2}} x$

(2) $y = 2x^3 - 3x^2 + 6x - 5$

(3) $y = -e^x - x$

(4) $y = 3x - 2\sin x$

の関数の増減を調べます。

2. 解き方の手順

(1) $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ の場合

- 定義域は $x > 0$ です。

- 導関数を計算します。

$y' = \frac{1}{x \ln(\frac{1}{2})} = \frac{1}{x (-\ln 2)} = -\frac{1}{x \ln 2}$

- $x>0$ より $y' < 0$ なので、関数は常に減少します。

(2) $y = 2x^3 - 3x^2 + 6x - 5$ の場合

- 定義域は実数全体です。

- 導関数を計算します。

$y' = 6x^2 - 6x + 6 = 6(x^2 - x + 1)$

- $y' = 6(x^2 - x + 1) = 6((x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4})$

- $y'$ は常に正なので、関数は常に増加します。

(3) $y = -e^x - x$ の場合

- 定義域は実数全体です。

- 導関数を計算します。

$y' = -e^x - 1$

- $e^x > 0$ なので、$y' < 0$ であり、関数は常に減少します。

(4) $y = 3x - 2\sin x$ の場合

- 定義域は実数全体です。

- 導関数を計算します。

$y' = 3 - 2\cos x$

- $-1 \le \cos x \le 1$ より、 $-2 \le -2\cos x \le 2$

- $1 \le 3 - 2\cos x \le 5$ なので、$y' > 0$ であり、関数は常に増加します。

3. 最終的な答え

(1) $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ は、$x > 0$ で常に減少

(2) $y = 2x^3 - 3x^2 + 6x - 5$ は常に増加

(3) $y = -e^x - x$ は常に減少

(4) $y = 3x - 2\sin x$ は常に増加