与えられた定積分 $S = \int_2^{e+1} \log(x-1) dx$ の値を計算する問題です。部分積分を用いて計算が進められています。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $S = \int_2^{e+1} \log(x-1) dx$ の値を計算する問題です。部分積分を用いて計算が進められています。

2. 解き方の手順

まず、$\log(x-1)$ を積分するために、$(x-1)' = 1$ であることを利用して、部分積分を行います。部分積分の公式は $\int u'v dx = uv - \int uv' dx$ です。

ここでは、$u' = (x-1)'$、$v = \log(x-1)$ とすると、$u = x-1$、$v' = \frac{1}{x-1}$ となります。

したがって、

$S = \int_2^{e+1} (x-1)' \log(x-1) dx = [(x-1)\log(x-1)]_2^{e+1} - \int_2^{e+1} (x-1) \frac{1}{x-1} dx$

$= [(x-1)\log(x-1)]_2^{e+1} - \int_2^{e+1} dx$

$= [(x-1)\log(x-1)]_2^{e+1} - [x]_2^{e+1}$

ここで、

$[(x-1)\log(x-1)]_2^{e+1} = (e+1-1)\log(e+1-1) - (2-1)\log(2-1) = e\log e - 1\log 1 = e\cdot 1 - 1\cdot 0 = e$

また、

$[x]_2^{e+1} = e+1 - 2 = e-1$

したがって、

$S = e - (e-1) = e - e + 1 = 1$

3. 最終的な答え

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