与えられた関数 $f(x, y) = x^2y$ と $g(x, y) = (x+y)e^x$ の偏導関数を求める。つまり、$f_x$, $f_y$, $g_x$, $g_y$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y) = x^2y$ と $g(x, y) = (x+y)e^x$ の偏導関数を求める。つまり、$f_x$, $f_y$, $g_x$, $g_y$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x, y) = x^2y$ の偏導関数を求める。

* $f_x$ は、$y$ を定数とみなして、$x$ で偏微分する。

$f_x = \frac{\partial}{\partial x}(x^2y) = 2xy$

* $f_y$ は、$x$ を定数とみなして、$y$ で偏微分する。

$f_y = \frac{\partial}{\partial y}(x^2y) = x^2$

次に、$g(x, y) = (x+y)e^x$ の偏導関数を求める。

* $g_x$ は、$y$ を定数とみなして、$x$ で偏微分する。積の微分公式を用いる。

$g_x = \frac{\partial}{\partial x}((x+y)e^x) = \frac{\partial}{\partial x}(x+y) \cdot e^x + (x+y) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(e^x) = 1 \cdot e^x + (x+y) \cdot e^x = e^x + xe^x + ye^x = (x+y+1)e^x$

* $g_y$ は、$x$ を定数とみなして、$y$ で偏微分する。

$g_y = \frac{\partial}{\partial y}((x+y)e^x) = e^x \frac{\partial}{\partial y}(x+y) = e^x \cdot 1 = e^x$

3. 最終的な答え

$f_x = 2xy$

$f_y = x^2$

$g_x = (x+y+1)e^x$

$g_y = e^x$