二つの曲線 $y = x^3 - 16x$ と $y = -x^3 - 2x^2 + a$ が、$x$ 座標が負の点で共通の接線を持つとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $a$ の値を求める。 (2) 共通の接線 $l$ の方程式を求める。 (3) 2つの曲線で囲まれた図形の面積を求める。

1. 問題の内容

二つの曲線 $y = x^3 - 16x$ と $y = -x^3 - 2x^2 + a$ が、$x$ 座標が負の点で共通の接線を持つとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $a$ の値を求める。

(2) 共通の接線 $l$ の方程式を求める。

(3) 2つの曲線で囲まれた図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の値を求める。

まず、2つの曲線が $x = t$ で共通の接線を持つと仮定します。このとき、$t < 0$ です。

2つの曲線の $x = t$ での値が等しいので、

$t^3 - 16t = -t^3 - 2t^2 + a$

$a = 2t^3 + 2t^2 - 16t$ ...(1)

次に、2つの曲線の $x = t$ での微分係数が等しいので、

$y' = 3x^2 - 16$

$y' = -3x^2 - 4x$

よって、

$3t^2 - 16 = -3t^2 - 4t$

$6t^2 + 4t - 16 = 0$

$3t^2 + 2t - 8 = 0$

$(3t - 4)(t + 2) = 0$

$t = \frac{4}{3}, -2$

$t < 0$ より、$t = -2$

これを (1) に代入すると、

$a = 2(-2)^3 + 2(-2)^2 - 16(-2) = 2(-8) + 2(4) + 32 = -16 + 8 + 32 = 24$

したがって、$a = 24$

(2) 接線 $l$ の方程式を求める。

$t = -2$ のとき、$y = (-2)^3 - 16(-2) = -8 + 32 = 24$

よって、接点の座標は $(-2, 24)$

接線の傾きは $3t^2 - 16 = 3(-2)^2 - 16 = 12 - 16 = -4$

接線の方程式は $y - 24 = -4(x + 2)$

$y = -4x - 8 + 24$

$y = -4x + 16$

(3) 2つの曲線で囲まれた図形の面積を求める。

2つの曲線の交点を求める。

$x^3 - 16x = -x^3 - 2x^2 + 24$

$2x^3 + 2x^2 - 16x - 24 = 0$

$x^3 + x^2 - 8x - 12 = 0$

$(x + 2)(x^2 - x - 6) = 0$

$(x + 2)(x - 3)(x + 2) = 0$

$(x + 2)^2 (x - 3) = 0$

$x = -2, 3$

求める面積は

$S = \int_{-2}^{3} [(-x^3 - 2x^2 + 24) - (x^3 - 16x)] dx$

$S = \int_{-2}^{3} (-2x^3 - 2x^2 + 16x + 24) dx$

$S = [-\frac{1}{2}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 8x^2 + 24x]_{-2}^{3}$

$S = (-\frac{1}{2}(3^4) - \frac{2}{3}(3^3) + 8(3^2) + 24(3)) - (-\frac{1}{2}(-2)^4 - \frac{2}{3}(-2)^3 + 8(-2)^2 + 24(-2))$

$S = (-\frac{81}{2} - 18 + 72 + 72) - (-8 + \frac{16}{3} + 32 - 48)$

$S = (-\frac{81}{2} + 126) - (\frac{16}{3} - 24)$

$S = 126 - \frac{81}{2} - \frac{16}{3} + 24$

$S = 150 - \frac{243 + 32}{6} = 150 - \frac{275}{6} = \frac{900 - 275}{6} = \frac{625}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 24$

(2) $y = -4x + 16$

(3) $\frac{625}{6}$