平均値の定理を用いて、 $0 < \alpha < \beta < \frac{\pi}{2}$ のとき、 $\sin \beta - \sin \alpha < \beta - \alpha$ であることを証明する。

1. 問題の内容

平均値の定理を用いて、 $0 < \alpha < \beta < \frac{\pi}{2}$ のとき、 $\sin \beta - \sin \alpha < \beta - \alpha$ であることを証明する。

2. 解き方の手順

関数 $f(x) = \sin x$ を考える。$f(x)$ は区間 $[\alpha, \beta]$ で連続であり、$(\alpha, \beta)$ で微分可能である。よって、平均値の定理より、

$\frac{f(\beta) - f(\alpha)}{\beta - \alpha} = f'(c)$

を満たす $c$ が $\alpha < c < \beta$ の範囲に存在する。ここで、$f(x) = \sin x$ であるから、$f'(x) = \cos x$ である。したがって、

$\frac{\sin \beta - \sin \alpha}{\beta - \alpha} = \cos c$

となる $c$ が $\alpha < c < \beta$ の範囲に存在する。

$0 < \alpha < \beta < \frac{\pi}{2}$ より、$0 < c < \frac{\pi}{2}$ であるから、$0 < \cos c < 1$ である。よって、

$\frac{\sin \beta - \sin \alpha}{\beta - \alpha} = \cos c < 1$

$\beta - \alpha > 0$ であるから、両辺に $\beta - \alpha$ を掛けて、

$\sin \beta - \sin \alpha < \beta - \alpha$

3. 最終的な答え

$\sin \beta - \sin \alpha < \beta - \alpha$