与えられた$\theta$の値に対して、$\sin\theta$、$\cos\theta$、$\tan\theta$の値をそれぞれ求める問題です。$\theta$は以下の３つの値を取ります。 (1) $\theta = \frac{5}{4}\pi$ (2) $\theta = \frac{11}{6}\pi$ (3) $\theta = -\frac{\pi}{3}$

1. 問題の内容

与えられた$\theta$の値に対して、$\sin\theta$、$\cos\theta$、$\tan\theta$の値をそれぞれ求める問題です。$\theta$は以下の３つの値を取ります。

(1) $\theta = \frac{5}{4}\pi$

(2) $\theta = \frac{11}{6}\pi$

(3) $\theta = -\frac{\pi}{3}$

2. 解き方の手順

三角関数の定義と単位円を用いて、それぞれの$\theta$に対する$\sin\theta$、$\cos\theta$、$\tan\theta$の値を求めます。

(1) $\theta = \frac{5}{4}\pi$の場合

$\frac{5}{4}\pi$は第3象限の角です。基準となる角度は$\frac{5}{4}\pi - \pi = \frac{\pi}{4}$です。

$\sin\left(\frac{5}{4}\pi\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos\left(\frac{5}{4}\pi\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan\left(\frac{5}{4}\pi\right) = \frac{\sin\left(\frac{5}{4}\pi\right)}{\cos\left(\frac{5}{4}\pi\right)} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$

(2) $\theta = \frac{11}{6}\pi$の場合

$\frac{11}{6}\pi$は第4象限の角です。基準となる角度は$2\pi - \frac{11}{6}\pi = \frac{\pi}{6}$です。

$\sin\left(\frac{11}{6}\pi\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$

$\cos\left(\frac{11}{6}\pi\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan\left(\frac{11}{6}\pi\right) = \frac{\sin\left(\frac{11}{6}\pi\right)}{\cos\left(\frac{11}{6}\pi\right)} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

(3) $\theta = -\frac{\pi}{3}$の場合

$-\frac{\pi}{3}$は第4象限の角です。

$\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$

$\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = -\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{5}{4}\pi$のとき

$\sin\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan\theta = 1$

(2) $\theta = \frac{11}{6}\pi$のとき

$\sin\theta = -\frac{1}{2}$

$\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan\theta = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

(3) $\theta = -\frac{\pi}{3}$のとき

$\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos\theta = \frac{1}{2}$

$\tan\theta = -\sqrt{3}$