与えられた問題は、以下の4つの小問から構成されています。 (1) 関数 $\frac{x^2-1}{x^2+1}$ の導関数を求める。 (2) 陰関数 $x^3 + 3xy + y^6 = 1$ から定まる関数 $y=y(x)$ の導関数 $y'$ を $x$ と $y$ を用いて表す。 (3) 放物線 $y^2 = 4x$ 上の点 $(3, 2\sqrt{3})$ における接線の式を求める。 (4) 楕円 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ 上の点 $P(u, v)$ における接線 $L$ の傾きが -1 であるとき、$u$ と $v$ の値を求め、さらに接線 $L$ と $x$ 軸との交点 $A$、 $y$ 軸との交点 $B$ としたとき、線分 $AB$ の長さを求める。

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の4つの小問から構成されています。

(1) 関数 $\frac{x^2-1}{x^2+1}$ の導関数を求める。

(2) 陰関数 $x^3 + 3xy + y^6 = 1$ から定まる関数 $y=y(x)$ の導関数 $y'$ を $x$ と $y$ を用いて表す。

(3) 放物線 $y^2 = 4x$ 上の点 $(3, 2\sqrt{3})$ における接線の式を求める。

(4) 楕円 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ 上の点 $P(u, v)$ における接線 $L$ の傾きが -1 であるとき、$u$ と $v$ の値を求め、さらに接線 $L$ と $x$ 軸との交点 $A$、 $y$ 軸との交点 $B$ としたとき、線分 $AB$ の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{x^2-1}{x^2+1}$ の導関数を求める。商の微分法を用いる。

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u = x^2 - 1$ より $u' = 2x$

$v = x^2 + 1$ より $v' = 2x$

$\frac{d}{dx}(\frac{x^2-1}{x^2+1}) = \frac{2x(x^2+1) - (x^2-1)2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{4x}{(x^2+1)^2}$

(2)

$x^3 + 3xy + y^6 = 1$ の両辺を $x$ で微分する。

$\frac{d}{dx}(x^3 + 3xy + y^6) = \frac{d}{dx}(1)$

$3x^2 + 3(x\frac{dy}{dx} + y) + 6y^5\frac{dy}{dx} = 0$

$3x^2 + 3x\frac{dy}{dx} + 3y + 6y^5\frac{dy}{dx} = 0$

$(3x + 6y^5)\frac{dy}{dx} = -3x^2 - 3y$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-3x^2 - 3y}{3x + 6y^5} = \frac{-x^2 - y}{x + 2y^5}$

(3)

放物線 $y^2 = 4x$ の両辺を $x$ で微分する。

$2y\frac{dy}{dx} = 4$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$

点 $(3, 2\sqrt{3})$ における接線の傾きは

$\frac{dy}{dx}|_{(3, 2\sqrt{3})} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

接線の式は

$y - 2\sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}(x - 3)$

$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x - \frac{3}{\sqrt{3}} + 2\sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}x - \sqrt{3} + 2\sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \sqrt{3}$

(4)

楕円 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ の両辺を $x$ で微分する。

$\frac{2x}{4} + \frac{2y}{9}\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{x}{2} + \frac{2y}{9}\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{9x}{4y}$

接線 $L$ の傾きが -1 なので、 $-\frac{9u}{4v} = -1$

$9u = 4v$

$v = \frac{9}{4}u$

点 $(u, v)$ は楕円上の点なので、$\frac{u^2}{4} + \frac{v^2}{9} = 1$

$\frac{u^2}{4} + \frac{(\frac{9}{4}u)^2}{9} = 1$

$\frac{u^2}{4} + \frac{\frac{81}{16}u^2}{9} = 1$

$\frac{u^2}{4} + \frac{9}{16}u^2 = 1$

$\frac{4u^2 + 9u^2}{16} = 1$

$\frac{13u^2}{16} = 1$

$u^2 = \frac{16}{13}$

$u = \frac{4}{\sqrt{13}}$ （$u>0$より）

$v = \frac{9}{4}u = \frac{9}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{13}} = \frac{9}{\sqrt{13}}$

接線の式は $y - \frac{9}{\sqrt{13}} = -1(x - \frac{4}{\sqrt{13}})$

$y = -x + \frac{4}{\sqrt{13}} + \frac{9}{\sqrt{13}} = -x + \frac{13}{\sqrt{13}} = -x + \sqrt{13}$

$x$ 軸との交点は $y = 0$ とおいて $x = \sqrt{13}$ より $A(\sqrt{13}, 0)$

$y$ 軸との交点は $x = 0$ とおいて $y = \sqrt{13}$ より $B(0, \sqrt{13})$

$AB = \sqrt{(\sqrt{13} - 0)^2 + (0 - \sqrt{13})^2} = \sqrt{13 + 13} = \sqrt{26}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4x}{(x^2+1)^2}$

(2) $y' = \frac{-x^2 - y}{x + 2y^5}$

(3) $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \sqrt{3}$

(4) $u = \frac{4}{\sqrt{13}}, v = \frac{9}{\sqrt{13}}, AB = \sqrt{26}$