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(1) 等式 $\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) dx = -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$ が成り立つことを示す。 (2) 2つの曲線 $y = x^2$ と $y = -x^2 + 2x + 1$ で囲まれる図形の面積を求める。

解析学積分定積分面積二次関数
2025/6/30

1. 問題の内容

(1) 等式 ∫αβ(x−α)(x−β)dx=−16(β−α)3\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) dx = -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 が成り立つことを示す。
(2) 2つの曲線 y=x2y = x^2 と y=−x2+2x+1y = -x^2 + 2x + 1 で囲まれる図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、左辺の積分を計算する。
∫αβ(x−α)(x−β)dx=∫αβ(x2−(α+β)x+αβ)dx\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) dx = \int_{\alpha}^{\beta} (x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta) dx
=[13x3−12(α+β)x2+αβx]αβ= [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}(\alpha + \beta)x^2 + \alpha\beta x]_{\alpha}^{\beta}
=(13β3−12(α+β)β2+αβ2)−(13α3−12(α+β)α2+α2β)= (\frac{1}{3}\beta^3 - \frac{1}{2}(\alpha + \beta)\beta^2 + \alpha\beta^2) - (\frac{1}{3}\alpha^3 - \frac{1}{2}(\alpha + \beta)\alpha^2 + \alpha^2\beta)
=13(β3−α3)−12(αβ2+β3−α3−α2β)+αβ(β−α)= \frac{1}{3}(\beta^3 - \alpha^3) - \frac{1}{2}(\alpha\beta^2 + \beta^3 - \alpha^3 - \alpha^2\beta) + \alpha\beta(\beta - \alpha)
=13(β3−α3)−12(β3−α3)−12(αβ2−α2β)+αβ(β−α)= \frac{1}{3}(\beta^3 - \alpha^3) - \frac{1}{2}(\beta^3 - \alpha^3) - \frac{1}{2}(\alpha\beta^2 - \alpha^2\beta) + \alpha\beta(\beta - \alpha)
=−16(β3−α3)−12αβ(β−α)+αβ(β−α)= -\frac{1}{6}(\beta^3 - \alpha^3) - \frac{1}{2}\alpha\beta(\beta - \alpha) + \alpha\beta(\beta - \alpha)
=−16(β−α)(β2+αβ+α2)+12αβ(β−α)= -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)(\beta^2 + \alpha\beta + \alpha^2) + \frac{1}{2}\alpha\beta(\beta - \alpha)
=−16(β−α)(β2+αβ+α2−3αβ)= -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)(\beta^2 + \alpha\beta + \alpha^2 - 3\alpha\beta)
=−16(β−α)(β2−2αβ+α2)= -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)(\beta^2 - 2\alpha\beta + \alpha^2)
=−16(β−α)(β−α)2= -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)(\beta - \alpha)^2
=−16(β−α)3= -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3
したがって、等式が成り立つ。
(2) まず、2つの曲線の交点を求める。
x2=−x2+2x+1x^2 = -x^2 + 2x + 1
2x2−2x−1=02x^2 - 2x - 1 = 0
x=2±4−4(2)(−1)4=2±124=2±234=1±32x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(2)(-1)}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}
交点のx座標をα=1−32\alpha = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}、β=1+32\beta = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}とする。
求める面積は、∫αβ((−x2+2x+1)−x2)dx=∫αβ(−2x2+2x+1)dx\int_{\alpha}^{\beta} ((-x^2 + 2x + 1) - x^2) dx = \int_{\alpha}^{\beta} (-2x^2 + 2x + 1) dx
=−2∫αβ(x−α)(x−β)dx= -2\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx
=−2∫αβ(−(x−α)(x−β)dx)= -2\int_{\alpha}^{\beta} (-(x-\alpha)(x-\beta) dx)
=2∫αβ−(x−α)(x−β)dx= 2 \int_{\alpha}^{\beta} -(x-\alpha)(x-\beta)dx
=−2∫αβ(x−α)(x−β)dx= -2 \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)dx
(1)の結果より、
=−2(−16(β−α)3)= -2(-\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3)
=13(β−α)3= \frac{1}{3}(\beta - \alpha)^3
β−α=1+32−1−32=232=3\beta - \alpha = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}
面積は 13(3)3=13(33)=3\frac{1}{3}(\sqrt{3})^3 = \frac{1}{3}(3\sqrt{3}) = \sqrt{3}

3. 最終的な答え

(1) 等式 ∫αβ(x−α)(x−β)dx=−16(β−α)3\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) dx = -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 は成り立つ。
(2) 2つの曲線で囲まれる図形の面積は 3\sqrt{3} である。

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