$f(x, y) = x^2y$ と $g(x, y) = (x+y)e^x$ の偏導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

$f(x, y) = x^2y$ と $g(x, y) = (x+y)e^x$ の偏導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

偏導関数とは、多変数関数をある一つの変数について微分するとき、他の変数を定数として扱うことで得られる導関数です。

関数 $f(x, y)$ について：

* $x$ で偏微分すると、$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$ となります。

* $y$ で偏微分すると、$\frac{\partial f}{\partial y} = x^2$ となります。

関数 $g(x, y)$ について：

* $x$ で偏微分すると、積の微分公式を利用します。

$\frac{\partial g}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} ((x+y)e^x) = \frac{\partial (x+y)}{\partial x}e^x + (x+y)\frac{\partial e^x}{\partial x} = 1 \cdot e^x + (x+y)e^x = e^x + xe^x + ye^x = (x+y+1)e^x$ となります。

* $y$ で偏微分すると、$\frac{\partial g}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} ((x+y)e^x) = e^x \frac{\partial (x+y)}{\partial y} = e^x \cdot 1 = e^x$ となります。

3. 最終的な答え

$f(x, y) = x^2y$ の偏導関数は、

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^2$

$g(x, y) = (x+y)e^x$ の偏導関数は、

$\frac{\partial g}{\partial x} = (x+y+1)e^x$

$\frac{\partial g}{\partial y} = e^x$