$\sin \frac{7}{24}\pi$, $\sin \frac{7}{12}\pi$, $\sin \frac{5}{6}\pi$, $\sin \frac{4}{3}\pi$ の大小を不等号を用いて表す。

1. 問題の内容

$\sin \frac{7}{24}\pi$, $\sin \frac{7}{12}\pi$, $\sin \frac{5}{6}\pi$, $\sin \frac{4}{3}\pi$ の大小を不等号を用いて表す。

2. 解き方の手順

$\sin x$ の値は、$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ において、$x$ が増加すると増加する。また、$\sin x = \sin(\pi - x)$ が成り立つ。

$\frac{7}{24}\pi$, $\frac{7}{12}\pi$, $\frac{5}{6}\pi$, $\frac{4}{3}\pi$ の値を比較するために、それぞれの値を計算する。

$\frac{7}{24}\pi \approx 0.2917\pi$

$\frac{7}{12}\pi \approx 0.5833\pi$

$\frac{5}{6}\pi \approx 0.8333\pi$

$\frac{4}{3}\pi \approx 1.3333\pi$

$\sin \frac{4}{3}\pi = \sin (\pi + \frac{1}{3}\pi) = - \sin \frac{1}{3}\pi = - \frac{\sqrt{3}}{2} < 0$

したがって、$\sin \frac{4}{3}\pi$ が最小である。

$\sin \frac{5}{6}\pi = \sin (\pi - \frac{1}{6}\pi) = \sin \frac{1}{6}\pi = \frac{1}{2}$

$\sin \frac{7}{12}\pi > \sin \frac{1}{2}\pi = 1$

$\frac{7}{12}\pi \approx 0.5833\pi$ は $0 < \frac{7}{12}\pi < \pi$ の範囲にあるので、正の値を持つ。

$\frac{7}{24} < \frac{7}{12}$ なので、$\sin \frac{7}{24}\pi < \sin \frac{7}{12}\pi$ が成り立つ。

$\frac{7}{24} < \frac{1}{6} = \frac{4}{24}$なので、$\sin \frac{7}{24}\pi > \sin \frac{1}{6}\pi = \frac{1}{2}$ は成り立たない。

したがって、$\sin \frac{7}{24}\pi < \sin \frac{5}{6}\pi$

$\frac{7}{12} > \frac{1}{2}$ なので、$\sin \frac{7}{12}\pi > \frac{1}{2} = \sin \frac{5}{6}\pi$

以上の結果をまとめると、$\sin \frac{4}{3}\pi < \sin \frac{7}{24}\pi < \sin \frac{5}{6}\pi < \sin \frac{7}{12}\pi$

3. 最終的な答え

$\sin \frac{4}{3}\pi < \sin \frac{7}{24}\pi < \sin \frac{5}{6}\pi < \sin \frac{7}{12}\pi$