与えられた関数 $y = 1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}$ について、極値、凹凸、変曲点などを調べ、グラフを描く。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = 1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}$ について、極値、凹凸、変曲点などを調べ、グラフを描く。

2. 解き方の手順

(1) 定義域を確認する：

$x \neq 0$ である。

(2) 導関数を計算する：

$y = 1 - 3x^{-1} + 2x^{-2}$

$y' = 3x^{-2} - 4x^{-3} = \frac{3}{x^2} - \frac{4}{x^3} = \frac{3x - 4}{x^3}$

$y'' = -6x^{-3} + 12x^{-4} = -\frac{6}{x^3} + \frac{12}{x^4} = \frac{-6x + 12}{x^4} = \frac{-6(x - 2)}{x^4}$

(3) 極値を求める：

$y' = 0$ となる $x$ を求める。

$\frac{3x - 4}{x^3} = 0$ より、$3x - 4 = 0$。よって、$x = \frac{4}{3}$。

$x = \frac{4}{3}$ の前後で $y'$ の符号を調べる。

- $x < 0$ のとき、$y' = \frac{3x - 4}{x^3} > 0$

- $0 < x < \frac{4}{3}$ のとき、$y' = \frac{3x - 4}{x^3} < 0$

- $x > \frac{4}{3}$ のとき、$y' = \frac{3x - 4}{x^3} > 0$

$x = \frac{4}{3}$ で極小値をとる。その値は、

$y(\frac{4}{3}) = 1 - \frac{3}{\frac{4}{3}} + \frac{2}{(\frac{4}{3})^2} = 1 - \frac{9}{4} + \frac{2}{\frac{16}{9}} = 1 - \frac{9}{4} + \frac{18}{16} = 1 - \frac{9}{4} + \frac{9}{8} = \frac{8 - 18 + 9}{8} = -\frac{1}{8}$

したがって、極小値は $(x, y) = (\frac{4}{3}, -\frac{1}{8})$

(4) 変曲点を求める：

$y'' = 0$ となる $x$ を求める。

$\frac{-6(x - 2)}{x^4} = 0$ より、$x = 2$。

$x = 2$ の前後で $y''$ の符号を調べる。

- $x < 0$ のとき、$y'' = \frac{-6(x - 2)}{x^4} < 0$

- $0 < x < 2$ のとき、$y'' = \frac{-6(x - 2)}{x^4} > 0$

- $x > 2$ のとき、$y'' = \frac{-6(x - 2)}{x^4} < 0$

$x = 2$ で変曲点を持つ。その値は、

$y(2) = 1 - \frac{3}{2} + \frac{2}{2^2} = 1 - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 1 - 1 = 0$

したがって、変曲点は $(x, y) = (2, 0)$

(5) 凹凸を調べる。

- $x < 0$ のとき、$y'' < 0$ より、上に凸。

- $0 < x < 2$ のとき、$y'' > 0$ より、下に凸。

- $x > 2$ のとき、$y'' < 0$ より、上に凸。

(6) 漸近線を調べる。

$\lim_{x \to \pm\infty} y = 1$ より、$y = 1$ は水平漸近線。

$\lim_{x \to 0} y = \infty$ より、$x = 0$ は垂直漸近線。

(7) グラフを描く。

3. 最終的な答え

極小値: $(\frac{4}{3}, -\frac{1}{8})$

変曲点: $(2, 0)$

漸近線: $x = 0$, $y = 1$

$x < 0$: 上に凸

$0 < x < 2$: 下に凸

$x > 2$: 上に凸