$R^2$上の関数 $z = 2x^2 - y^2$ の $R^3$ におけるグラフの点 $(1, 1, 1)$ における接平面を求める問題です。

1. 問題の内容

$R^2$上の関数 $z = 2x^2 - y^2$ の $R^3$ におけるグラフの点 $(1, 1, 1)$ における接平面を求める問題です。

2. 解き方の手順

関数を $f(x, y) = 2x^2 - y^2$ とします。

接平面の方程式は、

$z - f(a, b) = \frac{\partial f}{\partial x}(a, b) (x - a) + \frac{\partial f}{\partial y}(a, b) (y - b)$

で与えられます。ここで、$(a, b) = (1, 1)$ です。

まず、$f(1, 1)$ を計算します。

$f(1, 1) = 2(1)^2 - (1)^2 = 2 - 1 = 1$

次に、偏導関数を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (2x^2 - y^2) = 4x$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2x^2 - y^2) = -2y$

偏導関数の $(1, 1)$ での値を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x}(1, 1) = 4(1) = 4$

$\frac{\partial f}{\partial y}(1, 1) = -2(1) = -2$

これらを接平面の方程式に代入します。

$z - 1 = 4(x - 1) - 2(y - 1)$

$z - 1 = 4x - 4 - 2y + 2$

$z = 4x - 2y - 1$

3. 最終的な答え

$z = 4x - 2y - 1$