次の定積分を計算します。 $\int_{0}^{1} \left( \frac{x+1}{x^2+1} \right)^2 dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} \left( \frac{x+1}{x^2+1} \right)^2 dx$

2. 解き方の手順

まず積分の中身を展開します。

$\left( \frac{x+1}{x^2+1} \right)^2 = \frac{(x+1)^2}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+2x+1}{x^4+2x^2+1}$

次に、積分を以下のように分けます。

$\int_{0}^{1} \frac{x^2+2x+1}{x^4+2x^2+1} dx = \int_{0}^{1} \frac{x^2+1}{x^4+2x^2+1} dx + \int_{0}^{1} \frac{2x}{x^4+2x^2+1} dx$

ここで、$x^4+2x^2+1 = (x^2+1)^2$ なので、最初の積分は

$\int_{0}^{1} \frac{x^2+1}{(x^2+1)^2} dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2+1} dx$

これは $\arctan(x)$ の積分なので、

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2+1} dx = [\arctan(x)]_0^1 = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

2番目の積分は

$\int_{0}^{1} \frac{2x}{(x^2+1)^2} dx$

$u = x^2+1$ と置換すると、$du = 2x dx$ となります。また、$x=0$ のとき $u=1$、$x=1$ のとき $u=2$ なので、

$\int_{0}^{1} \frac{2x}{(x^2+1)^2} dx = \int_{1}^{2} \frac{1}{u^2} du = \int_{1}^{2} u^{-2} du = [-u^{-1}]_1^2 = [-\frac{1}{u}]_1^2 = -\frac{1}{2} - (-1) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

したがって、積分全体は

$\int_{0}^{1} \left( \frac{x+1}{x^2+1} \right)^2 dx = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$