問題は、定積分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{x+2b} dx$ を計算することです。ただし、$b > 0$です。

1. 問題の内容

問題は、定積分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{x+2b} dx$ を計算することです。ただし、$b > 0$です。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int \frac{1}{x+2b} dx$ を計算します。

$u = x + 2b$ と置換すると、$du = dx$ となります。

したがって、

$\int \frac{1}{x+2b} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C = \ln|x+2b| + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

次に、定積分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{x+2b} dx$ を計算します。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x+2b} dx = [\ln|x+2b|]_{0}^{1} = \ln|1+2b| - \ln|2b|$

$b > 0$ より、$1+2b > 0$ かつ $2b > 0$ なので、絶対値を外すことができます。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x+2b} dx = \ln(1+2b) - \ln(2b)$

対数の性質 $\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$ を使うと、

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x+2b} dx = \ln\left(\frac{1+2b}{2b}\right)$

3. 最終的な答え

$\ln\left(\frac{1+2b}{2b}\right)$