複素数 $z = a + bi$ について、以下の式を $z$ と $\bar{z}$ を用いて表す。 (1) $a+b$ (2) $a^2$ (3) $a^2 - b^2$

1. 問題の内容

複素数 $z = a + bi$ について、以下の式を $z$ と $\bar{z}$ を用いて表す。

(1) $a+b$

(2) $a^2$

(3) $a^2 - b^2$

2. 解き方の手順

まず、$z = a + bi$ の共役複素数 $\bar{z}$ は $\bar{z} = a - bi$ である。

(1) $a$ と $b$ を $z$ と $\bar{z}$ で表す。

$z + \bar{z} = (a + bi) + (a - bi) = 2a$ より、

$a = \frac{1}{2}(z + \bar{z})$

$z - \bar{z} = (a + bi) - (a - bi) = 2bi$ より、

$b = \frac{1}{2i}(z - \bar{z}) = -\frac{i}{2} (z - \bar{z})$

したがって、

$a + b = \frac{1}{2}(z + \bar{z}) - \frac{i}{2} (z - \bar{z}) = \frac{1}{2}z + \frac{1}{2}\bar{z} - \frac{i}{2}z + \frac{i}{2}\bar{z} = \frac{1-i}{2}z + \frac{1+i}{2}\bar{z}$

(2) $a^2$ を $z$ と $\bar{z}$ で表す。

$a = \frac{1}{2}(z + \bar{z})$ なので、

$a^2 = \left(\frac{1}{2}(z + \bar{z})\right)^2 = \frac{1}{4}(z + \bar{z})^2 = \frac{1}{4}(z^2 + 2z\bar{z} + \bar{z}^2) = \frac{1}{4}z^2 + \frac{1}{2}z\bar{z} + \frac{1}{4}\bar{z}^2$

(3) $b^2$ を $z$ と $\bar{z}$ で表す。

$b = \frac{1}{2i}(z - \bar{z})$ なので、

$b^2 = \left(\frac{1}{2i}(z - \bar{z})\right)^2 = \frac{1}{(2i)^2}(z - \bar{z})^2 = -\frac{1}{4}(z^2 - 2z\bar{z} + \bar{z}^2) = -\frac{1}{4}z^2 + \frac{1}{2}z\bar{z} - \frac{1}{4}\bar{z}^2$

$a^2 - b^2 = \left( \frac{1}{4}z^2 + \frac{1}{2}z\bar{z} + \frac{1}{4}\bar{z}^2 \right) - \left( -\frac{1}{4}z^2 + \frac{1}{2}z\bar{z} - \frac{1}{4}\bar{z}^2 \right) = \frac{1}{2}z^2 + \frac{1}{2}\bar{z}^2$

3. 最終的な答え

(1) $a + b = \frac{1-i}{2}z + \frac{1+i}{2}\bar{z}$

(2) $a^2 = \frac{1}{4}z^2 + \frac{1}{2}z\bar{z} + \frac{1}{4}\bar{z}^2$

(3) $a^2 - b^2 = \frac{1}{2}z^2 + \frac{1}{2}\bar{z}^2$