次の方程式を解く問題です。 (1) $|2x| + |x - 5| = 8$ (2) $3|x + 2| + |x - 2| = 10$ (3) $|x| + 2|x - 1| = x + 3$

1. 問題の内容

次の方程式を解く問題です。

(1) $|2x| + |x - 5| = 8$

(2) $3|x + 2| + |x - 2| = 10$

(3) $|x| + 2|x - 1| = x + 3$

2. 解き方の手順

(1) $|2x| + |x - 5| = 8$

場合分けをします。

(i) $x < 0$ のとき:

$-2x - (x - 5) = 8$

$-3x + 5 = 8$

$-3x = 3$

$x = -1$

これは $x < 0$ を満たすので解の一つです。

(ii) $0 \le x < 5$ のとき:

$2x - (x - 5) = 8$

$x + 5 = 8$

$x = 3$

これは $0 \le x < 5$ を満たすので解の一つです。

(iii) $x \ge 5$ のとき:

$2x + (x - 5) = 8$

$3x - 5 = 8$

$3x = 13$

$x = \frac{13}{3}$

これは $x \ge 5$ を満たさないので解ではありません。

(2) $3|x + 2| + |x - 2| = 10$

場合分けをします。

(i) $x < -2$ のとき:

$-3(x + 2) - (x - 2) = 10$

$-3x - 6 - x + 2 = 10$

$-4x - 4 = 10$

$-4x = 14$

$x = -\frac{7}{2}$

これは $x < -2$ を満たすので解の一つです。

(ii) $-2 \le x < 2$ のとき:

$3(x + 2) - (x - 2) = 10$

$3x + 6 - x + 2 = 10$

$2x + 8 = 10$

$2x = 2$

$x = 1$

これは $-2 \le x < 2$ を満たすので解の一つです。

(iii) $x \ge 2$ のとき:

$3(x + 2) + (x - 2) = 10$

$3x + 6 + x - 2 = 10$

$4x + 4 = 10$

$4x = 6$

$x = \frac{3}{2}$

これは $x \ge 2$ を満たさないので解ではありません。

(3) $|x| + 2|x - 1| = x + 3$

場合分けをします。

(i) $x < 0$ のとき:

$-x - 2(x - 1) = x + 3$

$-x - 2x + 2 = x + 3$

$-3x + 2 = x + 3$

$-4x = 1$

$x = -\frac{1}{4}$

これは $x < 0$ を満たすので解の一つです。

(ii) $0 \le x < 1$ のとき:

$x - 2(x - 1) = x + 3$

$x - 2x + 2 = x + 3$

$-x + 2 = x + 3$

$-2x = 1$

$x = -\frac{1}{2}$

これは $0 \le x < 1$ を満たさないので解ではありません。

(iii) $x \ge 1$ のとき:

$x + 2(x - 1) = x + 3$

$x + 2x - 2 = x + 3$

$3x - 2 = x + 3$

$2x = 5$

$x = \frac{5}{2}$

これは $x \ge 1$ を満たすので解の一つです。

3. 最終的な答え

(1) $x = -1, 3$

(2) $x = -\frac{7}{2}, 1$

(3) $x = -\frac{1}{4}, \frac{5}{2}$