次の和 $S$ を求めよ。 $S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2^3 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求めよ。

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2^3 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$

2. 解き方の手順

この問題は、等差数列と等比数列の積の和を求める問題です。等比数列の公比を $r$ とすると、$S - rS$ を計算することで解くことができます。この問題の場合、等比数列の公比は $r = 2$ です。

まず、$S$ を書きます。

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2^3 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$

次に、$2S$ を書きます。

$2S = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2^3 + 7 \cdot 2^4 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n}$

$S - 2S$ を計算します。

$S - 2S = (1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2^3 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}) - (1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2^3 + 7 \cdot 2^4 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n})$

$-S = 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + \dots + 2 \cdot 2^{n-1} - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 2(2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{n-1}) - (2n-1) \cdot 2^n$

ここで、括弧の中は等比数列の和なので、

$2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{n-1} = \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2 - 1} = 2^n - 2$

したがって、

$-S = 1 + 2(2^n - 2) - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 2^{n+1} - 4 - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = -3 + 2^{n+1} - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = -3 + 2^{n+1} - 2n \cdot 2^n + 2^n$

$-S = -3 + 2 \cdot 2^n - 2n \cdot 2^n + 2^n$

$-S = -3 + 3 \cdot 2^n - 2n \cdot 2^n$

$-S = -3 + (3 - 2n) \cdot 2^n$

$S = 3 + (2n - 3) \cdot 2^n$

3. 最終的な答え

$S = (2n-3)2^n + 3$