ベクトル $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{OB} = 3\overrightarrow{a} - 5\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{OC} = -5\overrightarrow{a} + 7\overrightarrow{b}$ が与えられています。ただし、$\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0}$, $\overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0}$ であり、$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ は平行ではありません。 (1) $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ を用いて表してください。 (2) 3点A, B, Cが一直線上にあることを証明してください。

1. 問題の内容

ベクトル $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{OB} = 3\overrightarrow{a} - 5\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{OC} = -5\overrightarrow{a} + 7\overrightarrow{b}$ が与えられています。ただし、$\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0}$, $\overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0}$ であり、$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ は平行ではありません。

(1) $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ を用いて表してください。

(2) 3点A, B, Cが一直線上にあることを証明してください。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ を用いて表す。

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (3\overrightarrow{a} - 5\overrightarrow{b}) - (\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b})$

$\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = (-5\overrightarrow{a} + 7\overrightarrow{b}) - (\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b})$

$\overrightarrow{AC} = -6\overrightarrow{a} + 9\overrightarrow{b}$

(2) 3点A, B, Cが一直線上にあることを証明する。

$\overrightarrow{AC} = -6\overrightarrow{a} + 9\overrightarrow{b} = -3(2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}) = -3\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AC} = -3\overrightarrow{AB}$ より、$\overrightarrow{AC}$ は $\overrightarrow{AB}$ の実数倍である。

したがって、$\overrightarrow{AC}$ と $\overrightarrow{AB}$ は平行である。

$\overrightarrow{AC}$ と $\overrightarrow{AB}$ は平行であり、点Aを共有しているので、3点A, B, Cは一直線上にある。

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{AC} = -6\overrightarrow{a} + 9\overrightarrow{b}$

(2) $\overrightarrow{AC} = -3\overrightarrow{AB}$ であるため、3点A, B, Cは一直線上にある。