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$\triangle ABC$ において、点 $D$ は辺 $AC$ の中点、点 $E$ は辺 $AB$ 上にあります。直線 $ED$ 上に $ED:DF = 2:7$ となるように点 $F$ をとります。$\triangle FEB$ と四角形 $DEBC$ の面積が等しいとき、$AE:EB$ を求めなさい。

幾何学三角形面積比比幾何
2025/6/29

1. 問題の内容

△ABC\triangle ABC において、点 DD は辺 ACAC の中点、点 EE は辺 ABAB 上にあります。直線 EDED 上に ED:DF=2:7ED:DF = 2:7 となるように点 FF をとります。△FEB\triangle FEB と四角形 DEBCDEBC の面積が等しいとき、AE:EBAE:EB を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、△ABC\triangle ABC の面積を SS とします。
△FEB\triangle FEB の面積と四角形 DEBCDEBC の面積が等しいので、それぞれの面積は 12S\frac{1}{2}S です。
△AED\triangle AED の面積を xx, △EBD\triangle EBD の面積を yy とすると、△FEB\triangle FEB の面積は 12S\frac{1}{2}S なので、△AFE\triangle AFE の面積は △ABC\triangle ABC の面積から△FEB\triangle FEBの面積を引いたものに等しくなり、△AFE\triangle AFE の面積 = △ABC\triangle ABC の面積 - △FEB\triangle FEB の面積 = SS - 12S\frac{1}{2}S = 12S\frac{1}{2}Sとなります。
よって、△AFE\triangle AFE の面積 = △FEB\triangle FEB の面積となり、このことから△AFE\triangle AFE と △FEB\triangle FEB の面積比は１：１となります。
一方、AEEB\frac{AE}{EB} = △AFE△FEB\frac{\triangle AFE}{\triangle FEB} となりますので、AEEB\frac{AE}{EB} = 1です。
したがって、四角形 DEBCDEBC の面積は △ABC\triangle ABC - △ADE\triangle ADE = 12S\frac{1}{2}S となります。
△ADE+△EBD=△ABD\triangle ADE + \triangle EBD = \triangle ABD = 12△ABC\frac{1}{2} \triangle ABC = 12S\frac{1}{2}S　となります。
したがって、x+y=12Sx + y = \frac{1}{2}S です。
また、△ADE\triangle ADE の面積は xx で、四角形 DEBCDEBC の面積は y+△DBCy + \triangle DBC となります。
DD は ACAC の中点なので、△DBC=12△ABC=12S\triangle DBC = \frac{1}{2} \triangle ABC = \frac{1}{2}Sとなります。
したがって、y+12S=12Sy + \frac{1}{2}S = \frac{1}{2}Sよりy=12S−xy = \frac{1}{2}S - xとなります。
ED:DF=2:7ED : DF = 2:7 より、ED:EF=2:9ED : EF = 2:9なので、△AED\triangle AED と △AEF\triangle AEF の面積比は 2:92:9となります。
したがって、△AEF=92x\triangle AEF = \frac{9}{2}xとなります。
ここで、△FEB=△AEF\triangle FEB = \triangle AEF より、△FEB=92x\triangle FEB = \frac{9}{2}xとなります。
また、△ABE=△AED+△DEB=x+y=x+12S−x=12S\triangle ABE = \triangle AED + \triangle DEB = x + y = x + \frac{1}{2}S -x = \frac{1}{2}S となります。
したがって、△AEB=△AEF+△FEB\triangle AEB = \triangle AEF + \triangle FEB = 92x\frac{9}{2}x となります。
よって、x+y=92xx+y=\frac{9}{2} x に △FEB=12S\triangle FEB = \frac{1}{2}S を代入すると、x=29(12S−x)x = \frac{2}{9}(\frac{1}{2}S - x)となります。
AE:EBAE:EB = x/yx/y = 9x2/y\frac{9x}{2} / y = △ADE△EDB\frac{\triangle ADE}{\triangle EDB}
また、AEEB=面積△AED面積△EBD\frac{AE}{EB} = \frac{面積△AED}{面積△EBD} であり、
AEAB=△AED△ABD=△AED(1/2)△ABC\frac{AE}{AB} = \frac{\triangle AED}{\triangle ABD} = \frac{\triangle AED}{(1/2) \triangle ABC} で、
AEEB=△AFE△EFB=(9/2)x(1/2)S=9xS=27\frac{AE}{EB} = \frac{\triangle AFE}{\triangle EFB} = \frac{(9/2) x}{(1/2) S} = \frac{9x}{S} = \frac{2}{7}
△AFE△EFB=(7/2)Area EDBC(1/2)Area ABC\frac{\triangle AFE}{\triangle EFB} = \frac{(7/2) \text{Area } EDBC}{(1/2)\text{Area }ABC}
△FEB\triangle FEB = 四角形 DEBCDEBC, ED:DF=2:7ED:DF=2:7
AEEB\frac{AE}{EB} = 27\frac{2}{7}

3. 最終的な答え

AE:EB = 2:7

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