(1) 点Qが直線 $y = x + 3$ 上を動くとき、点A(4, 1)とQを結ぶ線分AQを1:2に内分する点Pの軌跡を求める。 (2) 点Qが円 $x^2 + (y - 2)^2 = 1$ 上を動くとき、点A(3, 0)とQを結ぶ線分AQの中点Pの軌跡を求める。

はい、承知いたしました。問題文を読み、(1)と(2)の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) 点Qが直線 $y = x + 3$ 上を動くとき、点A(4, 1)とQを結ぶ線分AQを1:2に内分する点Pの軌跡を求める。

(2) 点Qが円 $x^2 + (y - 2)^2 = 1$ 上を動くとき、点A(3, 0)とQを結ぶ線分AQの中点Pの軌跡を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点Pの座標を$(x, y)$、点Qの座標を$(s, t)$とする。

Pは線分AQを1:2に内分するので、内分点の公式より、

$x = \frac{2 \cdot 4 + 1 \cdot s}{1 + 2} = \frac{8 + s}{3}$

$y = \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot t}{1 + 2} = \frac{2 + t}{3}$

これより、

$s = 3x - 8$

$t = 3y - 2$

点Qは直線 $y = x + 3$ 上の点なので、$t = s + 3$を満たす。

これを代入して、

$3y - 2 = (3x - 8) + 3$

$3y - 2 = 3x - 5$

$3y = 3x - 3$

$y = x - 1$

(2)

点Pの座標を$(x, y)$、点Qの座標を$(s, t)$とする。

Pは線分AQの中点なので、中点の公式より、

$x = \frac{3 + s}{2}$

$y = \frac{0 + t}{2}$

これより、

$s = 2x - 3$

$t = 2y$

点Qは円 $x^2 + (y - 2)^2 = 1$ 上の点なので、$s^2 + (t - 2)^2 = 1$を満たす。

これを代入して、

$(2x - 3)^2 + (2y - 2)^2 = 1$

$4x^2 - 12x + 9 + 4y^2 - 8y + 4 = 1$

$4x^2 - 12x + 4y^2 - 8y + 12 = 0$

$x^2 - 3x + y^2 - 2y + 3 = 0$

$(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + (y - 1)^2 - 1 + 3 = 0$

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y - 1)^2 = \frac{9}{4} + 1 - 3$

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y - 1)^2 = \frac{9}{4} + \frac{4}{4} - \frac{12}{4}$

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y - 1)^2 = \frac{1}{4}$

これは中心$(\frac{3}{2}, 1)$、半径$\frac{1}{2}$の円である。

3. 最終的な答え

(1) $y = x - 1$

(2) $(x - \frac{3}{2})^2 + (y - 1)^2 = \frac{1}{4}$