(1) $\cos 2\theta$ と $\cos 3\theta$ を $\cos \theta$ の式として表す。 (2) 半径1の円に内接する正五角形の一辺の長さが1.15より大きいか否かを理由をつけて判定する。

1. 問題の内容

(1) $\cos 2\theta$ と $\cos 3\theta$ を $\cos \theta$ の式として表す。

(2) 半径1の円に内接する正五角形の一辺の長さが1.15より大きいか否かを理由をつけて判定する。

2. 解き方の手順

(1)

$\cos 2\theta$ の加法定理より、

$\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$

ここで、$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ より、

$\cos 2\theta = \cos^2 \theta - (1 - \cos^2 \theta) = 2\cos^2 \theta - 1$

$\cos 3\theta$ は、$\cos (2\theta + \theta)$ として加法定理を用いる。

$\cos 3\theta = \cos(2\theta + \theta) = \cos 2\theta \cos \theta - \sin 2\theta \sin \theta$

$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$

$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$

$\cos 3\theta = (2\cos^2 \theta - 1)\cos \theta - 2\sin \theta \cos \theta \sin \theta$

$\cos 3\theta = (2\cos^2 \theta - 1)\cos \theta - 2\cos \theta \sin^2 \theta$

$\cos 3\theta = (2\cos^2 \theta - 1)\cos \theta - 2\cos \theta (1-\cos^2 \theta)$

$\cos 3\theta = 2\cos^3 \theta - \cos \theta - 2\cos \theta + 2\cos^3 \theta$

$\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$

(2)

正五角形の中心角は $2\pi/5$ である。正五角形の頂点を結ぶ弦に対する中心角は $2\pi/5$である。

この弦に対する円周角は、$\pi/5$である。正五角形の一辺の長さを $x$ とすると、余弦定理より

$x^2 = 1^2 + 1^2 - 2\cdot 1 \cdot 1 \cos(2\pi/5) = 2 - 2\cos(2\pi/5)$

$x = \sqrt{2 - 2\cos(2\pi/5)}$

$\cos(2\pi/5) = \cos(72^\circ) = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$

$x = \sqrt{2 - 2\frac{\sqrt{5} - 1}{4}} = \sqrt{2 - \frac{\sqrt{5} - 1}{2}} = \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{2}}$

$x = \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{2}} \approx \sqrt{\frac{5 - 2.236}{2}} \approx \sqrt{1.382} \approx 1.175$

よって、正五角形の一辺の長さは 1.15 より大きい。

3. 最終的な答え

(1) $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$, $\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$

(2) 正五角形の一辺の長さは1.15より大きい。