(1) 点(1, -3)と直線 $2x + y - 5 = 0$ の距離を求める。 (2) 原点Oと直線 $y = -3x + 5$ の距離を求める。

1. 問題の内容

(1) 点(1, -3)と直線 $2x + y - 5 = 0$ の距離を求める。

(2) 原点Oと直線 $y = -3x + 5$ の距離を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、以下の公式で求められます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

この公式を使って、点(1, -3)と直線 $2x + y - 5 = 0$ の距離を求めます。

$x_0 = 1$, $y_0 = -3$, $a = 2$, $b = 1$, $c = -5$ を代入すると、

$d = \frac{|2(1) + 1(-3) - 5|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|2 - 3 - 5|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|-6|}{\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}}$

分母の有理化を行うと、$d = \frac{6\sqrt{5}}{5}$

(2) 原点Oの座標は(0, 0)です。直線 $y = -3x + 5$ を $3x + y - 5 = 0$ と変形します。

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、以下の公式で求められます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

この公式を使って、原点(0, 0)と直線 $3x + y - 5 = 0$ の距離を求めます。

$x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $a = 3$, $b = 1$, $c = -5$ を代入すると、

$d = \frac{|3(0) + 1(0) - 5|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{|0 + 0 - 5|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{|-5|}{\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{10}}$

分母の有理化を行うと、$d = \frac{5\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{6\sqrt{5}}{5}$

(2) $\frac{\sqrt{10}}{2}$