下の図において、$x:y$ を求めよ。ここで、$x = BR$, $y = AR$ である。

1. 問題の内容

下の図において、$x:y$ を求めよ。ここで、$x = BR$, $y = AR$ である。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を $\triangle ABC$ と直線 $PR$ に対して適用する。メネラウスの定理とは、三角形 $ABC$ の辺 $BC, CA, AB$ (またはその延長線) 上にそれぞれ点 $P, Q, R$ があるとき、これらが一直線上にあるための必要十分条件は、

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$

が成り立つことである。

この図では $BC$ の延長上に点 $P$ があり、$CA$ 上に点 $Q$ が、$AB$ 上に点 $R$ がある。

したがって、メネラウスの定理より、

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$

$BP = BC + CP = 5 + 4 = 9$

$PC = 4$

$CQ = 3$

$QA = 3$

$AR = y$

$RB = x$

よって、

$\frac{9}{4} \cdot \frac{3}{3} \cdot \frac{y}{x} = 1$

$\frac{9}{4} \cdot \frac{y}{x} = 1$

$\frac{y}{x} = \frac{4}{9}$

$\frac{x}{y} = \frac{9}{4}$

したがって、$x:y = 9:4$

3. 最終的な答え

$x:y = 9:4$