$\angle A = 60^\circ$, $AB=8$, $AC=5$ である $\triangle ABC$ の内心を $I$ とする。$\vec{AB}=\vec{b}$, $\vec{AC}=\vec{c}$ とするとき、$\vec{AI}$ を $\vec{b}$, $\vec{c}$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

$\angle A = 60^\circ$, $AB=8$, $AC=5$ である $\triangle ABC$ の内心を $I$ とする。$\vec{AB}=\vec{b}$, $\vec{AC}=\vec{c}$ とするとき、$\vec{AI}$ を $\vec{b}$, $\vec{c}$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、辺 $BC$ の長さを余弦定理を用いて求める。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cos A$

$BC^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ$

$BC^2 = 64 + 25 - 80 \cdot \frac{1}{2}$

$BC^2 = 89 - 40 = 49$

$BC = 7$

次に、内心 $I$ の位置ベクトル $\vec{AI}$ を求める公式を使う。

$\vec{AI} = \frac{BC \cdot \vec{AB} + CA \cdot \vec{AC} + AB \cdot \vec{AA}}{AB + BC + CA}$

$\vec{AI} = \frac{BC \cdot \vec{AB} + CA \cdot \vec{AC}}{AB + BC + CA}$

$\vec{AI} = \frac{7 \vec{AB} + 5 \vec{AC}}{8+7+5} = \frac{7 \vec{b} + 5 \vec{c}}{20}$

$\vec{AI} = \frac{7}{20} \vec{b} + \frac{5}{20} \vec{c}$

$\vec{AI} = \frac{7}{20} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$

3. 最終的な答え

$\vec{AI} = \frac{7}{20} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$