$\triangle ABC$と点$P$に対して、等式 $6\overrightarrow{AP} + 3\overrightarrow{BP} + 2\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{0}$ が成り立つとき、点$P$はどのような位置にあるか。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$と点$P$に対して、等式 $6\overrightarrow{AP} + 3\overrightarrow{BP} + 2\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{0}$ が成り立つとき、点$P$はどのような位置にあるか。

2. 解き方の手順

与えられた式を$\overrightarrow{AP}$のみで表すことを目指します。

$\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC}$ を用いて式を変形します。

$6\overrightarrow{AP} + 3\overrightarrow{BP} + 2\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{0}$

$6\overrightarrow{AP} + 3(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}) + 2(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{0}$

$6\overrightarrow{AP} + 3\overrightarrow{AP} - 3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AP} - 2\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}$

$11\overrightarrow{AP} = 3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}}{11}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{5}{11} \cdot \frac{3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}}{5}$

ここで、点$D$を $\overrightarrow{AD} = \frac{3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}}{5}$ を満たす点とします。

このとき、点$D$は線分$BC$を$2:3$に内分する点となります。

なぜなら、 $\overrightarrow{AD} = \frac{3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}}{5} = \frac{2\overrightarrow{AC} + 3\overrightarrow{AB}}{2+3}$

であり、これは線分$BC$を$3:2$に内分する点（すなわち、$BC$を$2:3$に内分する点）を表すからです。

$\overrightarrow{AP} = \frac{5}{11} \overrightarrow{AD}$

したがって、点$P$は線分$AD$を $5:6$ に内分する点です。

3. 最終的な答え

点$P$は、線分$BC$を $2:3$ に内分する点を$D$とするとき、線分$AD$を$5:6$に内分する点である。