$\triangle ABC$ において、辺 $AB$ を $1:2$ に内分する点を $D$、辺 $AC$ を $3:1$ に内分する点を $E$ とし、線分 $CD$ と $BE$ の交点を $P$ とする。$\vec{AB}=\vec{b}$、$\vec{AC}=\vec{c}$ とするとき、$\vec{AP}$ を $\vec{b}$、$\vec{c}$ を用いて表す。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、辺 $AB$ を $1:2$ に内分する点を $D$、辺 $AC$ を $3:1$ に内分する点を $E$ とし、線分 $CD$ と $BE$ の交点を $P$ とする。$\vec{AB}=\vec{b}$、$\vec{AC}=\vec{c}$ とするとき、$\vec{AP}$ を $\vec{b}$、$\vec{c}$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

$P$ は線分 $CD$ 上の点なので、実数 $s$ を用いて

$\vec{AP} = (1-s)\vec{AC} + s\vec{AD}$

と表せる。$AD = \frac{1}{3}AB$ より $\vec{AD} = \frac{1}{3}\vec{b}$ であるから、

$\vec{AP} = (1-s)\vec{c} + \frac{s}{3}\vec{b}$

同様に、$P$ は線分 $BE$ 上の点なので、実数 $t$ を用いて

$\vec{AP} = (1-t)\vec{AB} + t\vec{AE}$

と表せる。$AE = \frac{3}{4}AC$ より $\vec{AE} = \frac{3}{4}\vec{c}$ であるから、

$\vec{AP} = (1-t)\vec{b} + \frac{3t}{4}\vec{c}$

$\vec{b}$ と $\vec{c}$ は一次独立なので、係数を比較して、

$1-s = \frac{3t}{4}$

$\frac{s}{3} = 1-t$

この連立方程式を解く。

第2式より $s = 3 - 3t$

これを第1式に代入すると、

$1-(3-3t) = \frac{3t}{4}$

$-2+3t = \frac{3t}{4}$

$12t - 3t = 8$

$9t = 8$

$t = \frac{8}{9}$

よって、

$\vec{AP} = (1-\frac{8}{9})\vec{b} + \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} \vec{c} = \frac{1}{9}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c}$

3. 最終的な答え

$\vec{AP} = \frac{1}{9}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c}$