点 $(2, 1, 6)$ を通り、ベクトル $(4, 4, -1)$ に垂直な平面の方程式を求めます。ただし、平面の方程式は $z = 4x + \boxed{1} y + \boxed{2}$ の形で与えられています。$\boxed{1}$ と $\boxed{2}$ に入る値を求める必要があります。

1. 問題の内容

点 $(2, 1, 6)$ を通り、ベクトル $(4, 4, -1)$ に垂直な平面の方程式を求めます。ただし、平面の方程式は $z = 4x + \boxed{1} y + \boxed{2}$ の形で与えられています。$\boxed{1}$ と $\boxed{2}$ に入る値を求める必要があります。

2. 解き方の手順

平面の方程式は、平面に垂直なベクトル $\vec{n} = (a, b, c)$ と平面上の点 $(x_0, y_0, z_0)$ を用いて、

$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$

と表されます。

この問題では、平面に垂直なベクトルが $\vec{n} = (4, 4, -1)$ であり、平面上の点が $(2, 1, 6)$ であるため、平面の方程式は

$4(x - 2) + 4(y - 1) - 1(z - 6) = 0$

となります。これを整理すると、

$4x - 8 + 4y - 4 - z + 6 = 0$

$4x + 4y - z - 6 = 0$

$z = 4x + 4y - 6$

問題で与えられた形式 $z = 4x + \boxed{1} y + \boxed{2}$ と比較すると、$\boxed{1}$ は $4$、$\boxed{2}$ は $-6$ になります。

3. 最終的な答え

$\boxed{1}$ に入る値は $4$ です。

$\boxed{2}$ に入る値は $-6$ です。

したがって、平面の方程式は $z = 4x + 4y - 6$ となります。