平行四辺形ABCDにおいて、辺ABを3:2に内分する点をP、対角線BDを2:5に内分する点をQとします。$\overrightarrow{BA}=\vec{a}$、$\overrightarrow{BC}=\vec{c}$とするとき、 (1) 3点P, Q, Cが一直線上にあることを証明しなさい。 (2) PQ: QCを求めなさい。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺ABを3:2に内分する点をP、対角線BDを2:5に内分する点をQとします。$\overrightarrow{BA}=\vec{a}$、$\overrightarrow{BC}=\vec{c}$とするとき、

(1) 3点P, Q, Cが一直線上にあることを証明しなさい。

(2) PQ: QCを求めなさい。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\overrightarrow{BP}$と$\overrightarrow{BQ}$を$\vec{a}$と$\vec{c}$で表します。

$\overrightarrow{BP} = \frac{2}{5}\overrightarrow{BA} = \frac{2}{5}\vec{a}$

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \vec{a} + \vec{c}$

$\overrightarrow{BQ} = \frac{2}{7}\overrightarrow{BD} = \frac{2}{7}(\vec{a} + \vec{c}) = \frac{2}{7}\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{c}$

次に、$\overrightarrow{PC}$を$\vec{a}$と$\vec{c}$で表します。

$\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BP} = \vec{c} - \frac{2}{5}\vec{a} = -\frac{2}{5}\vec{a} + \vec{c}$

さらに、$\overrightarrow{QC}$を$\vec{a}$と$\vec{c}$で表します。

$\overrightarrow{QC} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BQ} = \vec{c} - (\frac{2}{7}\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{c}) = -\frac{2}{7}\vec{a} + \frac{5}{7}\vec{c}$

$\overrightarrow{PC} = k\overrightarrow{QC}$となる実数$k$が存在すれば、3点P, Q, Cは一直線上にあります。

$-\frac{2}{5}\vec{a} + \vec{c} = k(-\frac{2}{7}\vec{a} + \frac{5}{7}\vec{c})$

$-\frac{2}{5} = -\frac{2}{7}k$ より $k = \frac{7}{5}$

$1 = \frac{5}{7}k$ より $k = \frac{7}{5}$

したがって、$k = \frac{7}{5}$なので、$\overrightarrow{PC} = \frac{7}{5}\overrightarrow{QC}$となり、3点P, Q, Cは一直線上にあります。

(2)

$\overrightarrow{PC} = \frac{7}{5}\overrightarrow{QC}$より、$PC = \frac{7}{5}QC$

$PQ + QC = \frac{7}{5}QC$

$PQ = \frac{7}{5}QC - QC = \frac{2}{5}QC$

$PQ:QC = \frac{2}{5}QC:QC = 2:5$

3. 最終的な答え

(1) 3点P, Q, Cは一直線上にある。

(2) PQ: QC = 2:5