円 $x^2 + y^2 = 4$ と、以下の二つの円について、それぞれの位置関係を調べる問題です。 (1) $(x+3)^2 + (y-4)^2 = 9$ (2) $(x-3)^2 + (y-3)^2 = 8$

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 4$ と、以下の二つの円について、それぞれの位置関係を調べる問題です。

(1) $(x+3)^2 + (y-4)^2 = 9$

(2) $(x-3)^2 + (y-3)^2 = 8$

2. 解き方の手順

二つの円の位置関係を調べるには、それぞれの円の中心間の距離 $d$ と、半径の和 $r_1 + r_2$、半径の差の絶対値 $|r_1 - r_2|$ を比較します。

- $d > r_1 + r_2$ ならば、二つの円は互いに外部にある（外接）

- $d = r_1 + r_2$ ならば、二つの円は外接する

- $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ ならば、二つの円は交わる

- $d = |r_1 - r_2|$ ならば、二つの円は内接する

- $d < |r_1 - r_2|$ ならば、一方の円が他方の円の内部にある

まず、円 $x^2 + y^2 = 4$ の中心は原点 $(0, 0)$ であり、半径は $r_1 = 2$ です。

(1) 円 $(x+3)^2 + (y-4)^2 = 9$ の中心は $(-3, 4)$ であり、半径は $r_2 = 3$ です。

中心間の距離 $d$ は、

$d = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

半径の和は $r_1 + r_2 = 2 + 3 = 5$

半径の差の絶対値は $|r_1 - r_2| = |2 - 3| = 1$

$d = r_1 + r_2$ であるため、二つの円は外接します。

(2) 円 $(x-3)^2 + (y-3)^2 = 8$ の中心は $(3, 3)$ であり、半径は $r_2 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ です。

中心間の距離 $d$ は、

$d = \sqrt{(3 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

半径の和は $r_1 + r_2 = 2 + 2\sqrt{2} \approx 2 + 2(1.414) = 2 + 2.828 = 4.828$

半径の差の絶対値は $|r_1 - r_2| = |2 - 2\sqrt{2}| = 2\sqrt{2} - 2 \approx 2(1.414) - 2 = 2.828 - 2 = 0.828$

$|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ であるため、$0.828 < 3\sqrt{2} \approx 4.243 < 4.828$となり、二つの円は交わります。

3. 最終的な答え

(1) 外接する

(2) 交わる