三角形ABCにおいて、$AB = 3$, $AC = 2$, $\angle A = 60^\circ$である。外心をOとし、$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c}$とするとき、$\vec{AO}$を$\vec{b}$と$\vec{c}$を用いて表す。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 3$, $AC = 2$, $\angle A = 60^\circ$である。外心をOとし、$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c}$とするとき、$\vec{AO}$を$\vec{b}$と$\vec{c}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

$\vec{AO} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$とおく。つまり、$\vec{AO} = s\vec{b} + t\vec{c}$である。

外心Oは、各辺の垂直二等分線の交点である。

辺BCの中点をMとすると、$\vec{AM} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$である。

$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b}$であり、$OM \perp BC$なので、$\vec{OM} \cdot \vec{BC} = 0$である。

$\vec{OM} = \vec{AM} - \vec{AO} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - (s\vec{b} + t\vec{c}) = (\frac{1}{2} - s)\vec{b} + (\frac{1}{2} - t)\vec{c}$である。

$\vec{OM} \cdot \vec{BC} = ((\frac{1}{2} - s)\vec{b} + (\frac{1}{2} - t)\vec{c}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0$より、

$(\frac{1}{2} - s)\vec{b} \cdot \vec{c} - (\frac{1}{2} - s)|\vec{b}|^2 + (\frac{1}{2} - t)|\vec{c}|^2 - (\frac{1}{2} - t)\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$

ここで、$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}|cos60^\circ = 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 3$, $|\vec{b}|^2 = 3^2 = 9$, $|\vec{c}|^2 = 2^2 = 4$なので、

$(\frac{1}{2} - s)3 - (\frac{1}{2} - s)9 + (\frac{1}{2} - t)4 - (\frac{1}{2} - t)3 = 0$

$\frac{3}{2} - 3s - \frac{9}{2} + 9s + 2 - 4t - \frac{3}{2} + 3t = 0$

$6s - t - \frac{3}{2} = 0$

$12s - 2t = 3$ ...(1)

次に、辺ABの垂直二等分線上にOがあることから、$|\vec{AO}|^2 = |\vec{BO}|^2$を考える。

$|s\vec{b} + t\vec{c}|^2 = |s\vec{b} + t\vec{c} - \vec{b}|^2$

$s^2|\vec{b}|^2 + 2st\vec{b} \cdot \vec{c} + t^2|\vec{c}|^2 = (s-1)^2|\vec{b}|^2 + 2(s-1)t\vec{b} \cdot \vec{c} + t^2|\vec{c}|^2$

$s^2(9) + 2st(3) + t^2(4) = (s^2-2s+1)(9) + 2(s-1)t(3) + t^2(4)$

$9s^2 + 6st + 4t^2 = 9s^2 - 18s + 9 + 6st - 6t + 4t^2$

$0 = -18s - 6t + 9$

$18s + 6t = 9$

$6s + 2t = 3$ ...(2)

(1)と(2)を連立させて解く。

$12s - 2t = 3$

$6s + 2t = 3$

両式を足すと、$18s = 6$より、$s = \frac{1}{3}$

(2)に代入して、$6(\frac{1}{3}) + 2t = 3$より、$2 + 2t = 3$、$2t = 1$、$t = \frac{1}{2}$

したがって、$\vec{AO} = \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$

3. 最終的な答え

$\vec{AO} = \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$