半径 $r$ の円形の花壇の周りに幅 $a$ の道路がある。この道路の面積を $S$、道路の真ん中を通る円の円周の長さを $l$ とすると、$S=al$ となることを証明する。

1. 問題の内容

半径 $r$ の円形の花壇の周りに幅 $a$ の道路がある。この道路の面積を $S$、道路の真ん中を通る円の円周の長さを $l$ とすると、$S=al$ となることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、道路の面積 $S$ を求める。道路を含めた全体の円の半径は $r+a$ なので、全体の円の面積は $\pi (r+a)^2$ である。花壇の面積は $\pi r^2$ なので、道路の面積 $S$ は、

$$S = \pi (r+a)^2 - \pi r^2$$

$$S = \pi (r^2 + 2ar + a^2) - \pi r^2$$

$$S = \pi r^2 + 2\pi ar + \pi a^2 - \pi r^2$$

$$S = 2\pi ar + \pi a^2$$

次に、道路の真ん中を通る円の円周の長さ $l$ を求める。この円の半径は $r+\frac{a}{2}$ なので、$l$ は、

$$l = 2\pi (r+\frac{a}{2}) = 2\pi r + \pi a$$

したがって、$al$ は、

$$al = a(2\pi r + \pi a) = 2\pi ar + \pi a^2$$

$S$ と $al$ は等しいので、$S=al$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$S = \pi(r+a)^2 - \pi r^2 = 2 \pi a r + \pi a^2$

$l = 2 \pi (r + \frac{a}{2}) = 2\pi r + \pi a$

$al = (2\pi r + \pi a)a = 2 \pi a r + \pi a^2$

したがって、$S = al$ が証明された。