縦の長さが $p$、横の長さが $q$ の長方形の花壇の周りに、幅 $a$ の道路がある。この道路の面積を $S$、道路の真ん中を通る長方形の周の長さを $l$ とすると、$S = al$ となることを証明する。

1. 問題の内容

縦の長さが $p$、横の長さが $q$ の長方形の花壇の周りに、幅 $a$ の道路がある。この道路の面積を $S$、道路の真ん中を通る長方形の周の長さを $l$ とすると、$S = al$ となることを証明する。

2. 解き方の手順

道路の面積 $S$ は、外側の長方形の面積から花壇の長方形の面積を引いたものとして計算できる。

外側の長方形の縦の長さは $p + 2a$、横の長さは $q + 2a$ である。

したがって、

$S = (p + 2a)(q + 2a) - pq$

これを展開すると、

$S = pq + 2ap + 2aq + 4a^2 - pq$

$S = 2ap + 2aq + 4a^2$

$S = 2a(p + q + 2a)$

一方、道路の真ん中を通る長方形の縦の長さは $p + a$、横の長さは $q + a$ なので、その周の長さ $l$ は、

$l = 2(p + a) + 2(q + a)$

$l = 2p + 2a + 2q + 2a$

$l = 2p + 2q + 4a$

$l = 2(p + q + 2a)$

したがって、$al$ は、

$al = a \cdot 2(p + q + 2a)$

$al = 2a(p + q + 2a)$

これは、$S$ と等しい。

よって、$S = al$ が証明された。

$S = (p + 2a)(q + 2a) - pq = 2a(p + q + 2a)$

$l = 2(p + q + 2a)$

$al = 2a(p + q + 2a)$

ゆえに $S=al$

3. 最終的な答え

道路の面積Sは、

S = (p+2a)(q+2a) - pq

= 2a(p + q + 2a)

道路の真ん中を通る長方形の周の長さlは、

l = 2(p + q + 2a)

ゆえに、S = al