三角形ABCにおいて、AB=3, AC=2, ∠A=60°である。外心をOとする。$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c}$とするとき、$\vec{AO}$を$\vec{b}$と$\vec{c}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=3, AC=2, ∠A=60°である。外心をOとする。$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c}$とするとき、$\vec{AO}$を$\vec{b}$と$\vec{c}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

外心の性質を利用する。外心Oは、各辺の垂直二等分線の交点である。

よって、$\vec{AO} = s\vec{b} + t\vec{c}$ とおく。

$\vec{AO} \cdot \vec{BC} = 0$ および $\vec{AO} \cdot \vec{AB} = \frac{1}{2}|\vec{AB}|^2$ を利用して $s$ と $t$ を求める。

まず、$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} = \vec{c} - \vec{b}$ である。

したがって、$\vec{AO} \cdot \vec{BC} = (s\vec{b} + t\vec{c}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = s\vec{b} \cdot \vec{c} - s|\vec{b}|^2 + t|\vec{c}|^2 - t\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$

$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}|\cos{60^\circ} = 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 3$

$|\vec{b}|^2 = 3^2 = 9$

$|\vec{c}|^2 = 2^2 = 4$

したがって、

$3s - 9s + 4t - 3t = 0$

$-6s + t = 0$

$t = 6s$ ...(1)

次に、$\vec{AO} \cdot \vec{AB} = \frac{1}{2}|\vec{AB}|^2$ を考える。

$\vec{AO} \cdot \vec{AB} = (s\vec{b} + t\vec{c}) \cdot \vec{b} = s|\vec{b}|^2 + t\vec{b} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2}|\vec{b}|^2$

$9s + 3t = \frac{1}{2} \cdot 9 = \frac{9}{2}$

$2s + \frac{2}{3}t = 1$ ...(2)

(1)を(2)に代入すると、

$2s + \frac{2}{3}(6s) = 1$

$2s + 4s = 1$

$6s = 1$

$s = \frac{1}{6}$

$t = 6s = 6 \cdot \frac{1}{6} = 1$

したがって、$\vec{AO} = \frac{1}{6}\vec{b} + \vec{c}$

3. 最終的な答え

$\vec{AO} = \frac{1}{6}\vec{b} + \vec{c}$