$\triangle ABC$ において、$AB=3$, $AC=2$, $\angle A = 60^\circ$である。外心を $O$ とし、$\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$ とするとき、$\overrightarrow{AO}$ を $\vec{b}$ と $\vec{c}$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$AB=3$, $AC=2$, $\angle A = 60^\circ$である。外心を $O$ とし、$\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$ とするとき、$\overrightarrow{AO}$ を $\vec{b}$ と $\vec{c}$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

外心 $O$ は $\triangle ABC$ の外接円の中心であるから、$|\overrightarrow{AO}| = |\overrightarrow{BO}| = |\overrightarrow{CO}|$ が成り立つ。$\overrightarrow{AO} = s\vec{b} + t\vec{c}$ とおくと、$s, t$ は実数である。

まず、$|\overrightarrow{AO}|^2 = |\overrightarrow{BO}|^2$ を用いる。

$\overrightarrow{BO} = \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{AB} = s\vec{b} + t\vec{c} - \vec{b} = (s-1)\vec{b} + t\vec{c}$ であるから、

$|\overrightarrow{AO}|^2 = |s\vec{b} + t\vec{c}|^2 = s^2|\vec{b}|^2 + 2st\vec{b}\cdot\vec{c} + t^2|\vec{c}|^2 = s^2 \cdot 3^2 + 2st \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ + t^2 \cdot 2^2 = 9s^2 + 6st + 4t^2$

$|\overrightarrow{BO}|^2 = |(s-1)\vec{b} + t\vec{c}|^2 = (s-1)^2|\vec{b}|^2 + 2(s-1)t\vec{b}\cdot\vec{c} + t^2|\vec{c}|^2 = (s-1)^2 \cdot 3^2 + 2(s-1)t \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ + t^2 \cdot 2^2 = 9(s^2 - 2s + 1) + 6t(s-1) + 4t^2 = 9s^2 - 18s + 9 + 6st - 6t + 4t^2$

$|\overrightarrow{AO}|^2 = |\overrightarrow{BO}|^2$ より、$9s^2 + 6st + 4t^2 = 9s^2 - 18s + 9 + 6st - 6t + 4t^2$

$0 = -18s - 6t + 9$

$18s + 6t = 9$

$6s + 2t = 3$ --- (1)

次に、$|\overrightarrow{AO}|^2 = |\overrightarrow{CO}|^2$ を用いる。

$\overrightarrow{CO} = \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{AC} = s\vec{b} + t\vec{c} - \vec{c} = s\vec{b} + (t-1)\vec{c}$ であるから、

$|\overrightarrow{CO}|^2 = |s\vec{b} + (t-1)\vec{c}|^2 = s^2|\vec{b}|^2 + 2s(t-1)\vec{b}\cdot\vec{c} + (t-1)^2|\vec{c}|^2 = s^2 \cdot 3^2 + 2s(t-1) \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ + (t-1)^2 \cdot 2^2 = 9s^2 + 6s(t-1) + 4(t^2 - 2t + 1) = 9s^2 + 6st - 6s + 4t^2 - 8t + 4$

$|\overrightarrow{AO}|^2 = |\overrightarrow{CO}|^2$ より、$9s^2 + 6st + 4t^2 = 9s^2 + 6st - 6s + 4t^2 - 8t + 4$

$0 = -6s - 8t + 4$

$6s + 8t = 4$

$3s + 4t = 2$ --- (2)

(1), (2) より、

$6s + 2t = 3$

$3s + 4t = 2$

(1) - (2) $\times 2$ より、$6s + 2t - 6s - 8t = 3 - 4$

$-6t = -1$

$t = \frac{1}{6}$

$6s + 2(\frac{1}{6}) = 3$

$6s + \frac{1}{3} = 3$

$6s = \frac{8}{3}$

$s = \frac{4}{9}$

したがって、$\overrightarrow{AO} = \frac{4}{9}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AO} = \frac{4}{9}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow{AC} = \frac{4}{9}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c}$