$\triangle ABC$ において、辺 $AB$ を $1:2$ に内分する点を $D$、辺 $AC$ を $3:1$ に内分する点を $E$ とし、線分 $CD$ と $BE$ の交点を $P$ とする。$\vec{AB} = \vec{b}$、$\vec{AC} = \vec{c}$ とするとき、$\vec{AP}$ を $\vec{b}$、$\vec{c}$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、辺 $AB$ を $1:2$ に内分する点を $D$、辺 $AC$ を $3:1$ に内分する点を $E$ とし、線分 $CD$ と $BE$ の交点を $P$ とする。$\vec{AB} = \vec{b}$、$\vec{AC} = \vec{c}$ とするとき、$\vec{AP}$ を $\vec{b}$、$\vec{c}$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、点 $P$ が線分 $CD$ 上にあることから、実数 $s$ を用いて、

$\vec{AP} = (1-s)\vec{AC} + s\vec{AD}$

と表せる。

ここで、$\vec{AD} = \frac{1}{3}\vec{AB} = \frac{1}{3}\vec{b}$ であるから、

$\vec{AP} = (1-s)\vec{c} + \frac{s}{3}\vec{b}$

となる。

次に、点 $P$ が線分 $BE$ 上にあることから、実数 $t$ を用いて、

$\vec{AP} = (1-t)\vec{AB} + t\vec{AE}$

と表せる。

ここで、$\vec{AE} = \frac{3}{4}\vec{AC} = \frac{3}{4}\vec{c}$ であるから、

$\vec{AP} = (1-t)\vec{b} + \frac{3t}{4}\vec{c}$

となる。

$\vec{b}$ と $\vec{c}$ は一次独立なので、

$1-s = \frac{3t}{4}$

$\frac{s}{3} = 1-t$

という連立方程式を得る。これを解くと、

$s = 3 - 3t$

$1 - (3 - 3t) = \frac{3t}{4}$

$-2 + 3t = \frac{3t}{4}$

$\frac{9}{4}t = 2$

$t = \frac{8}{9}$

$s = 3 - 3 \cdot \frac{8}{9} = 3 - \frac{8}{3} = \frac{1}{3}$

となる。

よって、

$\vec{AP} = (1-t)\vec{b} + \frac{3t}{4}\vec{c} = (1-\frac{8}{9})\vec{b} + \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} \vec{c} = \frac{1}{9}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c}$

または、

$\vec{AP} = (1-s)\vec{c} + \frac{s}{3}\vec{b} = (1-\frac{1}{3})\vec{c} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}\vec{b} = \frac{2}{3}\vec{c} + \frac{1}{9}\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\vec{AP} = \frac{1}{9}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c}$