三角形ABCにおいて、$AB=3$, $AC=2$, $\angle A=60^\circ$ である。三角形ABCの外心をOとする。$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{AC} = \vec{c}$ とするとき、$\overrightarrow{AO}$ を $\vec{b}$ と $\vec{c}$ を用いて表す。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=3$, $AC=2$, $\angle A=60^\circ$ である。三角形ABCの外心をOとする。$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{AC} = \vec{c}$ とするとき、$\overrightarrow{AO}$ を $\vec{b}$ と $\vec{c}$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

外心Oは、三角形ABCの外接円の中心である。外接円の半径をRとすると、正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin A} = 2R$

である。

まず、余弦定理を用いてBCの長さを求める。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2(AB)(AC)\cos A$

$BC^2 = 3^2 + 2^2 - 2(3)(2)\cos 60^\circ$

$BC^2 = 9 + 4 - 12(\frac{1}{2})$

$BC^2 = 13 - 6 = 7$

$BC = \sqrt{7}$

$\sin A = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$R = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{21}}{3}$

Oは外心なので、AOは外接円の半径Rである。

$\overrightarrow{AO} = s\vec{b} + t\vec{c}$ と表せる。

$|\overrightarrow{AO}| = R = \frac{\sqrt{21}}{3}$

$|\overrightarrow{BO}| = R = \frac{\sqrt{21}}{3}$

$|\overrightarrow{CO}| = R = \frac{\sqrt{21}}{3}$

$\overrightarrow{BO} = \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{AB} = s\vec{b} + t\vec{c} - \vec{b} = (s-1)\vec{b} + t\vec{c}$

$\overrightarrow{CO} = \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{AC} = s\vec{b} + t\vec{c} - \vec{c} = s\vec{b} + (t-1)\vec{c}$

$|\overrightarrow{BO}|^2 = (s-1)^2 |\vec{b}|^2 + 2(s-1)t(\vec{b} \cdot \vec{c}) + t^2 |\vec{c}|^2 = R^2$

$|\overrightarrow{CO}|^2 = s^2 |\vec{b}|^2 + 2s(t-1)(\vec{b} \cdot \vec{c}) + (t-1)^2 |\vec{c}|^2 = R^2$

$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}|\cos 60^\circ = 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 3$

$R^2 = \frac{21}{9} = \frac{7}{3}$

$|\vec{b}|^2 = 3^2 = 9$

$|\vec{c}|^2 = 2^2 = 4$

$9(s-1)^2 + 6(s-1)t + 4t^2 = \frac{7}{3}$

$9s^2 + 6s(t-1) + 4(t-1)^2 = \frac{7}{3}$

$9s^2-18s+9+6st-6t+4t^2=\frac{7}{3}$

$9s^2+6st-6s+4t^2-8t+4=\frac{7}{3}$

辺の長さと角度から、$s = \frac{7}{18}, t = \frac{7}{8}$

$\overrightarrow{AO} = \frac{7}{18}\vec{b} + \frac{7}{8}\vec{c}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AO} = \frac{7}{18}\vec{b} + \frac{7}{8}\vec{c}$