三角形ABCにおいて、$AB=3, AC=2, \angle A=60^\circ$ であり、外心をOとする。$\overrightarrow{AB}=\vec{b}, \overrightarrow{AC}=\vec{c}$ とするとき、$\overrightarrow{AO}$ を $\vec{b}, \vec{c}$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=3, AC=2, \angle A=60^\circ$ であり、外心をOとする。$\overrightarrow{AB}=\vec{b}, \overrightarrow{AC}=\vec{c}$ とするとき、$\overrightarrow{AO}$ を $\vec{b}, \vec{c}$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

外心Oは各辺の垂直二等分線の交点である。

まず、$\overrightarrow{AO} = s\vec{b} + t\vec{c}$ と表す。

次に、$\overrightarrow{BO} \cdot \overrightarrow{AC}=0$ と $\overrightarrow{CO} \cdot \overrightarrow{AB}=0$ を利用して、sとtの連立方程式を作る。

$\overrightarrow{AO} = s\vec{b} + t\vec{c}$ より、

$\overrightarrow{BO} = \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{AB} = s\vec{b} + t\vec{c} - \vec{b} = (s-1)\vec{b} + t\vec{c}$

$\overrightarrow{CO} = \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{AC} = s\vec{b} + t\vec{c} - \vec{c} = s\vec{b} + (t-1)\vec{c}$

$\overrightarrow{BO} \cdot \overrightarrow{AC} = ((s-1)\vec{b} + t\vec{c})\cdot \vec{c} = (s-1)(\vec{b} \cdot \vec{c}) + t|\vec{c}|^2 = 0$

$\overrightarrow{CO} \cdot \overrightarrow{AB} = (s\vec{b} + (t-1)\vec{c})\cdot \vec{b} = s|\vec{b}|^2 + (t-1)(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 0$

ここで、$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}|\cos{60^\circ} = 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 3$ である。また、$|\vec{b}|^2 = 3^2 = 9, |\vec{c}|^2 = 2^2 = 4$

上の式に代入すると、

$(s-1)3 + 4t = 0 \Rightarrow 3s + 4t = 3 \cdots (1)$

$9s + (t-1)3 = 0 \Rightarrow 9s + 3t = 3 \Rightarrow 3s + t = 1 \cdots (2)$

(1)-(2)より、

$3t = 2 \Rightarrow t = \frac{2}{3}$

(2)に代入して、

$3s + \frac{2}{3} = 1 \Rightarrow 3s = \frac{1}{3} \Rightarrow s = \frac{1}{9}$

したがって、

$\overrightarrow{AO} = \frac{1}{9}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AO} = \frac{1}{9}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c}$