$\angle A = 60^\circ$, $AB = 8$, $AC = 5$ である $\triangle ABC$ の内心を $I$ とする。$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c}$ とするとき、$\vec{AI}$ を $\vec{b}$, $\vec{c}$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

$\angle A = 60^\circ$, $AB = 8$, $AC = 5$ である $\triangle ABC$ の内心を $I$ とする。$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c}$ とするとき、$\vec{AI}$ を $\vec{b}$, $\vec{c}$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

$\triangle ABC$ の辺 $BC$ の長さを $a$ とすると、余弦定理より

$a^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 64 + 25 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49$

よって $a = 7$ となる。

内心 $I$ の位置ベクトル $\vec{AI}$ は、

$\vec{AI} = \frac{a \vec{AB} + b \vec{AC}}{a+b+c} + \frac{c \vec{AA}}{a+b+c}$

$\vec{AI} = \frac{7 \vec{AB} + 5 \vec{AC}}{7+5+8} = \frac{7 \vec{b} + 5 \vec{c}}{20}$

$\vec{AI} = \frac{7}{20} \vec{b} + \frac{5}{20} \vec{c} = \frac{7}{20} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$

3. 最終的な答え

$\vec{AI} = \frac{7}{20} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$