三角形ABCと点Pに対し、等式 $5\overrightarrow{AP} + 4\overrightarrow{BP} + 3\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{0}$ が成り立っている。 (1) 点Pの位置を求めよ。 (2) $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB$ を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCと点Pに対し、等式 $5\overrightarrow{AP} + 4\overrightarrow{BP} + 3\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{0}$ が成り立っている。

(1) 点Pの位置を求めよ。

(2) $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Pの位置を求める。

$\overrightarrow{AP}$ を基準にベクトルを書き換える。

$\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC}$

与えられた式に代入すると、

$5\overrightarrow{AP} + 4(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}) + 3(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{0}$

$5\overrightarrow{AP} + 4\overrightarrow{AP} - 4\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AP} - 3\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}$

$12\overrightarrow{AP} = 4\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{4\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}}{12} = \frac{4\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}}{4+3} \cdot \frac{7}{12} = \frac{7}{12} \cdot \frac{4\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}}{7}$

線分BCを3:4に内分する点をDとすると、

$\overrightarrow{AD} = \frac{4\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}}{7}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{7}{12} \overrightarrow{AD}$

したがって、点Pは線分ADを7:5に内分する点である。

言い換えると、線分ADを12分割したうち、Aから7だけ進んだ点がP。

(2) 面積比を求める。

$\triangle ABC$ の面積をSとする。

$\overrightarrow{AP} = \frac{4\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}}{12}$ より、

$\triangle PBC = \frac{5}{12}S$

$\triangle PCA = \frac{4}{12}S = \frac{1}{3}S$

$\triangle PAB = \frac{3}{12}S = \frac{1}{4}S$

よって、

$\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = \frac{5}{12} : \frac{4}{12} : \frac{3}{12} = 5:4:3$

3. 最終的な答え

(1) 線分BCを3:4に内分する点をDとすると、点Pは線分ADを7:5に内分する点である。

(2) $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = 5:4:3$