円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=6, BC=4, CD=2, ∠ABC=60°であるとき、以下の問いに答える。 (1) 対角線ACの長さを求めよ。 (2) 辺ADの長さを求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=6, BC=4, CD=2, ∠ABC=60°であるとき、以下の問いに答える。

(1) 対角線ACの長さを求めよ。

(2) 辺ADの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 対角線ACの長さを求める。

△ABCにおいて、余弦定理を用いると、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC}$

$AC^2 = 6^2 + 4^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \cos{60^\circ}$

$AC^2 = 36 + 16 - 48 \cdot \frac{1}{2}$

$AC^2 = 52 - 24$

$AC^2 = 28$

$AC = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$

(2) 辺ADの長さを求める。

四角形ABCDは円に内接するので、$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

△ADCにおいて、余弦定理を用いると、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos{\angle ADC}$

$(2\sqrt{7})^2 = AD^2 + 2^2 - 2 \cdot AD \cdot 2 \cdot \cos{120^\circ}$

$28 = AD^2 + 4 - 4 \cdot AD \cdot (-\frac{1}{2})$

$28 = AD^2 + 4 + 2AD$

$AD^2 + 2AD - 24 = 0$

$(AD + 6)(AD - 4) = 0$

AD > 0より、AD = 4

3. 最終的な答え

(1) 対角線ACの長さ: $2\sqrt{7}$

(2) 辺ADの長さ: 4