4点 O(0, 0, 0), A(1, 1, 0), B(2, 0, -1), C(0, -2, 3) が与えられています。以下の問題を解きます。 (1) 点 O から線分 BC に下ろした垂線の足 J の座標を求めます。 (2) 点 O から三角形 ABC に下ろした垂線の足 H の座標を求めます。 (3) 四面体 OABC の体積を求めます。

1. 問題の内容

4点 O(0, 0, 0), A(1, 1, 0), B(2, 0, -1), C(0, -2, 3) が与えられています。以下の問題を解きます。

(1) 点 O から線分 BC に下ろした垂線の足 J の座標を求めます。

(2) 点 O から三角形 ABC に下ろした垂線の足 H の座標を求めます。

(3) 四面体 OABC の体積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点 J の座標を求める。

点 J は線分 BC 上にあるので、$\vec{BJ} = k\vec{BC}$ となる実数 k が存在します。

$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = (0, -2, 3) - (2, 0, -1) = (-2, -2, 4)$

$\vec{BJ} = \vec{OJ} - \vec{OB}$ なので、

$\vec{OJ} = \vec{OB} + k\vec{BC} = (2, 0, -1) + k(-2, -2, 4) = (2 - 2k, -2k, -1 + 4k)$

$\vec{OJ} \cdot \vec{BC} = 0$ であるので、

$(2 - 2k, -2k, -1 + 4k) \cdot (-2, -2, 4) = 0$

$-4 + 4k + 4k - 4 + 16k = 0$

$24k = 8$

$k = \frac{1}{3}$

よって、

$\vec{OJ} = (2 - \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, -1 + \frac{4}{3}) = (\frac{4}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$

したがって、点 J の座標は $(\frac{4}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$ です。

(2) 点 H の座標を求める。

点 H は平面 ABC 上にあるので、$\vec{AH} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$ となる実数 s, t が存在します。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (2, 0, -1) - (1, 1, 0) = (1, -1, -1)$

$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = (0, -2, 3) - (1, 1, 0) = (-1, -3, 3)$

$\vec{OH} = \vec{OA} + s\vec{AB} + t\vec{AC} = (1, 1, 0) + s(1, -1, -1) + t(-1, -3, 3) = (1 + s - t, 1 - s - 3t, -s + 3t)$

$\vec{OH}$ が平面 ABC に垂直なので、$\vec{OH} \cdot \vec{AB} = 0$ かつ $\vec{OH} \cdot \vec{AC} = 0$ です。

$(1 + s - t, 1 - s - 3t, -s + 3t) \cdot (1, -1, -1) = 0$

$1 + s - t - 1 + s + 3t + s - 3t = 0$

$3s - t = 0$

$t = 3s$

$(1 + s - t, 1 - s - 3t, -s + 3t) \cdot (-1, -3, 3) = 0$

$-1 - s + t - 3 + 3s + 9t - 3s + 9t = 0$

$-4 - s + t + 3s + 9t -3s + 9t =0$

$-s + 19t - 4 = 0$

$-s + 19(3s) = 4$

$-s + 57s = 4$

$56s = 4$

$s = \frac{1}{14}$

$t = 3s = \frac{3}{14}$

$\vec{OH} = (1 + \frac{1}{14} - \frac{3}{14}, 1 - \frac{1}{14} - \frac{9}{14}, -\frac{1}{14} + \frac{9}{14}) = (\frac{12}{14}, \frac{4}{14}, \frac{8}{14}) = (\frac{6}{7}, \frac{2}{7}, \frac{4}{7})$

したがって、点 H の座標は $(\frac{6}{7}, \frac{2}{7}, \frac{4}{7})$ です。

(3) 四面体 OABC の体積を求める。

$\vec{AB} = (1, -1, -1)$

$\vec{AC} = (-1, -3, 3)$

$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & -3 & 3 \end{vmatrix} = (-3 - 3)\vec{i} - (3 - 1)\vec{j} + (-3 - 1)\vec{k} = (-6, -2, -4)$

$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 4 + 16} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$

三角形 ABC の面積 S は $S = \frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} (2\sqrt{14}) = \sqrt{14}$

$|\vec{OH}| = \sqrt{(\frac{6}{7})^2 + (\frac{2}{7})^2 + (\frac{4}{7})^2} = \sqrt{\frac{36 + 4 + 16}{49}} = \sqrt{\frac{56}{49}} = \sqrt{\frac{8}{7}} = 2\sqrt{\frac{2}{7}}$

四面体 OABC の体積 V は $V = \frac{1}{3}S|\vec{OH}| = \frac{1}{3}\sqrt{14}(2\sqrt{\frac{2}{7}}) = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{28}{7}} = \frac{2}{3}\sqrt{4} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

(1) J($\frac{4}{3}$, -$\frac{2}{3}$, $\frac{1}{3}$)

(2) H($\frac{6}{7}$, $\frac{2}{7}$, $\frac{4}{7}$)

(3) V = $\frac{4}{3}$