点 $(3, 1)$ を通り、円 $x^2 + y^2 = 2$ に接する直線の方程式と、その接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $(3, 1)$ を通り、円 $x^2 + y^2 = 2$ に接する直線の方程式と、その接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、接点を $(x_1, y_1)$ とします。

円 $x^2 + y^2 = 2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は、

$x_1x + y_1y = 2$

となります。

この直線が点 $(3, 1)$ を通るので、

$3x_1 + y_1 = 2$

となります。

また、点 $(x_1, y_1)$ は円 $x^2 + y^2 = 2$ 上の点なので、

$x_1^2 + y_1^2 = 2$

が成り立ちます。

$3x_1 + y_1 = 2$ より、$y_1 = 2 - 3x_1$ となります。

これを $x_1^2 + y_1^2 = 2$ に代入すると、

$x_1^2 + (2 - 3x_1)^2 = 2$

$x_1^2 + 4 - 12x_1 + 9x_1^2 = 2$

$10x_1^2 - 12x_1 + 2 = 0$

$5x_1^2 - 6x_1 + 1 = 0$

$(5x_1 - 1)(x_1 - 1) = 0$

したがって、$x_1 = 1/5$ または $x_1 = 1$ となります。

$x_1 = 1/5$ のとき、$y_1 = 2 - 3(1/5) = 2 - 3/5 = 7/5$ となります。

$x_1 = 1$ のとき、$y_1 = 2 - 3(1) = 2 - 3 = -1$ となります。

したがって、接点は $(1/5, 7/5)$ または $(1, -1)$ となります。

接点が $(1/5, 7/5)$ のときの接線の方程式は、

$\frac{1}{5}x + \frac{7}{5}y = 2$

$x + 7y = 10$

接点が $(1, -1)$ のときの接線の方程式は、

$x - y = 2$

3. 最終的な答え

接線の方程式は $x + 7y = 10$ と $x - y = 2$ です。

接点の座標は $(1/5, 7/5)$ と $(1, -1)$ です。