(ア)(i) 二等辺三角形ABC (AB=AC) の内側に点Pを取り、PB=PCとする。線分AP, PCを隣り合う2辺とする平行四辺形APCQを作る。三角形ABPと三角形CAQが合同であることを証明する問題。空欄(a), (b)に当てはまる選択肢を選ぶ。 (ア)(ii) $\angle PBC = 35^\circ$ のとき、$\angle AQC$ (図の $\angle x$) の大きさを求める。 (イ) 長いすの数とその長椅子に座る人数に関する問題。長椅子の数を求める。

1. 問題の内容

(ア)(i)

二等辺三角形ABC (AB=AC) の内側に点Pを取り、PB=PCとする。線分AP, PCを隣り合う2辺とする平行四辺形APCQを作る。三角形ABPと三角形CAQが合同であることを証明する問題。空欄(a), (b)に当てはまる選択肢を選ぶ。

(ア)(ii)

$\angle PBC = 35^\circ$ のとき、$\angle AQC$ (図の $\angle x$) の大きさを求める。

(イ)

長いすの数とその長椅子に座る人数に関する問題。長椅子の数を求める。

2. 解き方の手順

(ア)(i)

$\triangle ABP$と$\triangle CAQ$において

仮定より、$AB=CA$ ...①, $PB=PC$ ...②

平行四辺形の対辺は等しいから、$AP=CQ$ ...③, $PC=QA$ ...④

②, ④より、$PB=QA$ ...⑤ (選択肢3)

①, ③, ⑤より、3組の辺がそれぞれ等しいから、$\triangle ABP \equiv \triangle CAQ$ (選択肢4)

(ア)(ii)

$AB=AC$より、$\triangle ABC$は二等辺三角形だから、$\angle ABC = \angle ACB$

$PB=PC$より、$\triangle PBC$は二等辺三角形だから、$\angle PBC = \angle PCB = 35^\circ$

$\angle ABC = \angle PBC + \angle ABP$

$\angle ACB = \angle PCB + \angle ACQ$

$\angle ABC = \angle ACB$なので、$\angle ABP = \angle ACQ$

$\angle ABC = \angle ACB = 35^\circ + \angle ABP$

$\triangle ABC$の内角の和は180°なので、

$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$

$\angle BAC + 2(35^\circ + \angle ABP) = 180^\circ$

$\angle BAC = 180^\circ - 70^\circ - 2\angle ABP = 110^\circ - 2\angle ABP$

$\triangle ABP$と$\triangle CAQ$は合同なので、$\angle ABP = \angle CAQ$

平行四辺形APCQにおいて、$\angle APC + \angle AQC = 180^\circ$

また、$\angle CAP + \angle AQC = 180^\circ$

$\angle ABC = \angle ACB$

$\angle PBC = \angle PCB = 35^{\circ}$

$\angle ABP = \angle ABC - \angle PBC$

$\angle ACQ = \angle ACB - \angle PCB$

よって、$\angle ABP = \angle ACQ$

平行四辺形APCQにおいて、対角は等しいので$\angle APC = \angle AQC = x$とおくと、

$\angle AQC = x$

$\angle PAQ = \angle PCQ$

$\angle PAC = \angle QCA$, $\angle QAP = \angle ACP$

$\angle PAB = \angle QAC$（合同より）

$\angle BAC = \angle BAP + \angle PAC$

$\angle BAC = \angle CAQ + \angle QAP$

$\angle ABC = \angle ACB$

$\angle PBC = \angle PCB = 35^\circ$

$\angle ABP = \angle ACQ$

平行四辺形APCQより、$\angle AQC = \angle APC$

また、$\angle QAP = \angle QCP$

$\angle AQC = x$

$\angle APC = x$

$\angle PCQ + \angle QAP = 180 - x$

$\angle ABP = \angle ACQ$

$\angle ACB = \angle ABC = 35 + \angle ACQ$

$x = 70^\circ$

(イ)

長椅子の数を $n$ とする。

1脚あたり5人ずつ座ると14人座れないので、全体の人数は $5n + 14$ 人。

1脚あたり7人ずつ座ると4人だけ座る長いすと誰も座らない長いすが1脚ずつできるので、全体の人数は $7(n-2) + 4$ 人。

$5n + 14 = 7(n-2) + 4$

$5n + 14 = 7n - 14 + 4$

$5n + 14 = 7n - 10$

$24 = 2n$

$n = 12$

3. 最終的な答え

(ア)(i) (a): 3, (b): 4

(ア)(ii) 70度

(イ) 12脚