2点 $A(2, 0, -3)$ と $B(-2, 6, 1)$ を直径の両端とする球面の式を求める問題です。

1. 問題の内容

2点 $A(2, 0, -3)$ と $B(-2, 6, 1)$ を直径の両端とする球面の式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 球面の中心を求める。

球面は、線分ABの中点を中心とするので、中心 $C$ の座標は、

$C = \left( \frac{2 + (-2)}{2}, \frac{0 + 6}{2}, \frac{-3 + 1}{2} \right) = (0, 3, -1)$

(2) 球面の半径を求める。

球面の半径 $r$ は、中心 $C$ と点 $A$ の距離として求められる。

$r = \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - 3)^2 + (-3 - (-1))^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17}$

(3) 球面の方程式を求める。

中心 $(0, 3, -1)$、半径 $\sqrt{17}$ の球面の方程式は、

$(x - 0)^2 + (y - 3)^2 + (z - (-1))^2 = (\sqrt{17})^2$

$x^2 + (y - 3)^2 + (z + 1)^2 = 17$

$x^2 + (y^2 - 6y + 9) + (z^2 + 2z + 1) = 17$

$x^2 + y^2 + z^2 - 6y + 2z + 10 = 17$

$x^2 + y^2 + z^2 - 6y + 2z - 7 = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 + (y - 3)^2 + (z + 1)^2 = 17$

または

$x^2 + y^2 + z^2 - 6y + 2z - 7 = 0$