半径 $r$ の円 $x^2 + y^2 = r^2$ と直線 $3x + y - 10 = 0$ が接するとき、$r$ の値を求める。

1. 問題の内容

半径 $r$ の円 $x^2 + y^2 = r^2$ と直線 $3x + y - 10 = 0$ が接するとき、$r$ の値を求める。

2. 解き方の手順

円と直線が接するということは、円の中心と直線の距離が半径に等しいということです。

円 $x^2 + y^2 = r^2$ の中心は $(0, 0)$ です。点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、次の公式で求められます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

この問題の場合、$x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $a = 3$, $b = 1$, $c = -10$ です。

したがって、円の中心 $(0, 0)$ と直線 $3x + y - 10 = 0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|3(0) + 1(0) - 10|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{|-10|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$

円と直線が接するとき、$d = r$ なので、

$r = \sqrt{10}$

3. 最終的な答え

$r = \sqrt{10}$