正十角形に関する以下の問題を解きます。 (1) 対角線の本数を求めます。 (2) 頂点のうち3個を頂点とする三角形の個数を求めます。 (3) (2)の三角形のうち、正十角形と1辺だけを共有する三角形の個数を求めます。

1. 問題の内容

正十角形に関する以下の問題を解きます。

(1) 対角線の本数を求めます。

(2) 頂点のうち3個を頂点とする三角形の個数を求めます。

(3) (2)の三角形のうち、正十角形と1辺だけを共有する三角形の個数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 対角線の本数

正十角形の頂点の数は10です。

1つの頂点から引ける対角線の数は、自分自身と両隣の頂点を除いた $10 - 3 = 7$ 本です。

すべての頂点から対角線を引くと $10 \times 7 = 70$ 本になりますが、これは1本の対角線を2回数えているので、2で割る必要があります。

したがって、対角線の本数は $\frac{10 \times 7}{2}$ です。

(2) 三角形の個数

正十角形の頂点から3つを選ぶ組み合わせを考えます。これは、10個から3個を選ぶ組み合わせ ${}_{10}C_3$ で計算できます。

${}_{10}C_3 = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4$

(3) 1辺だけを共有する三角形の個数

正十角形の1辺を選びます。正十角形の辺の数は10です。

選んだ辺と頂点を共有しない頂点を選ぶ必要があります。

選んだ辺の両端の2頂点と、その両隣の2頂点は選べないので、残りの頂点数は $10 - 4 = 6$ です。

したがって、1つの辺に対して6個の三角形が作れます。

正十角形は10個の辺を持つので、1辺だけを共有する三角形の個数は $10 \times 6$ です。

3. 最終的な答え

(1) 対角線の本数:

$\frac{10 \times 7}{2} = 35$ 本

(2) 三角形の個数:

${}_{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ 個

(3) 1辺だけを共有する三角形の個数:

$10 \times 6 = 60$ 個