$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ で、$\cos\alpha = \frac{2}{3}$ のとき、$\tan \frac{\alpha}{2}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ で、$\cos\alpha = \frac{2}{3}$ のとき、$\tan \frac{\alpha}{2}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

半角の公式 $\tan^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}$ を用いる。

まず、$\cos\alpha = \frac{2}{3}$ を代入して $\tan^2 \frac{\alpha}{2}$ を計算する。

$\tan^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \frac{2}{3}}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{1}{5}$

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より $0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4}$ であるから $\tan \frac{\alpha}{2} > 0$ である。

したがって、$\tan \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

$\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{5}}{5}$