## 問題の内容

## 問題の内容

一辺の長さが6の立方体において、辺EF, FG, GCの中点をそれぞれL, M, Nとする。

(1) LM, LNの長さを求めよ。

(2) ∠LMNの大きさを求めよ。

(3) △LMNの面積Sを求めよ。

## 解き方の手順

(1) LM, LNの長さを求める。

* LMについて：

LとMはそれぞれEFとFGの中点なので、LMは$\triangle EFG$の中点連結線である。したがって、LMの長さはEGの長さの半分となる。

$\triangle EFG$は直角二等辺三角形なので、$EG = \sqrt{EF^2 + FG^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$。

よって、$LM = \frac{1}{2}EG = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$。

* LNについて：

LはEFの中点、NはGCの中点なので、LからEFに垂直に線を引き、NからGCに垂直に線を引くと、その交点をPとすると、LP = FG = 6、PN = $\frac{1}{2}EG = 3\sqrt{2}$.

$\triangle LPN$は直角三角形なので、

$LN = \sqrt{LP^2 + PN^2} = \sqrt{6^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{36 + 18} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$

(2) ∠LMNの大きさを求める。

* $\triangle LMN$において、LM=$3\sqrt{2}$, LN=$3\sqrt{6}$, MN = $3\sqrt{2}$。

したがって$\triangle LMN$は二等辺三角形。LM = MNである。

余弦定理より、

$LN^2 = LM^2 + MN^2 - 2 \times LM \times MN \times \cos{\angle LMN}$

$(3\sqrt{6})^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 - 2 \times 3\sqrt{2} \times 3\sqrt{2} \times \cos{\angle LMN}$

$54 = 18 + 18 - 36 \cos{\angle LMN}$

$18 = -36 \cos{\angle LMN}$

$\cos{\angle LMN} = -\frac{1}{2}$

$\angle LMN = 120^\circ$

(3) △LMNの面積Sを求める。

* $\triangle LMN$の面積Sは、$S = \frac{1}{2} \times LM \times MN \times \sin{\angle LMN} = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{2} \times 3\sqrt{2} \times \sin{120^\circ}$

$S = \frac{1}{2} \times 18 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$

## 最終的な答え

(1) LM = $3\sqrt{2}$, LN = $3\sqrt{6}$

(2) ∠LMN = $120^\circ$

(3) △LMNの面積S = $\frac{9\sqrt{3}}{2}$