三角形ABCにおいて、与えられた情報から残りの辺の長さと角の大きさを求めます。 (1) $b=3$, $c=\sqrt{3}$, $B=60^\circ$ (2) $b=2\sqrt{3}$, $c=2$, $C=30^\circ$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、与えられた情報から残りの辺の長さと角の大きさを求めます。

(1) $b=3$, $c=\sqrt{3}$, $B=60^\circ$

(2) $b=2\sqrt{3}$, $c=2$, $C=30^\circ$

2. 解き方の手順

(1) $b=3$, $c=\sqrt{3}$, $B=60^\circ$の場合

まず、正弦定理を用いて角Cを求めます。

$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{3}{\sin 60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{\sin C}$

$\sin C = \frac{\sqrt{3} \sin 60^\circ}{3} = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$\sin C = \frac{1}{2}$となる角Cは、$C = 30^\circ$または$C = 150^\circ$です。

$B + C < 180^\circ$である必要があるので、$C = 150^\circ$は不適です。

したがって、$C = 30^\circ$です。

次に、角Aを求めます。

$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ$

最後に、正弦定理を用いて辺aを求めます。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\frac{a}{\sin 90^\circ} = \frac{3}{\sin 60^\circ}$

$a = \frac{3 \sin 90^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{3 \cdot 1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$

(2) $b=2\sqrt{3}$, $c=2$, $C=30^\circ$の場合

まず、正弦定理を用いて角Bを求めます。

$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{2\sqrt{3}}{\sin B} = \frac{2}{\sin 30^\circ}$

$\sin B = \frac{2\sqrt{3} \sin 30^\circ}{2} = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin B = \frac{\sqrt{3}}{2}$となる角Bは、$B = 60^\circ$または$B = 120^\circ$です。

(i) $B = 60^\circ$の場合

$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ$

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

$a = \frac{c \sin A}{\sin C} = \frac{2 \sin 90^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{2 \cdot 1}{\frac{1}{2}} = 4$

(ii) $B = 120^\circ$の場合

$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ$

このとき、$A = C$となり、$a = c$です。

したがって、$a = 2$です。

3. 最終的な答え

(1) $a = 2\sqrt{3}$, $A = 90^\circ$, $C = 30^\circ$

(2) (i) $A = 90^\circ$, $B = 60^\circ$, $a = 4$

(ii) $A = 30^\circ$, $B = 120^\circ$, $a = 2$